p1268 树的重量

Posted 2020-11-10 水题收割者

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题目

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树，其叶节点表示一个物种，两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在，一个重要的问题是，根据物种之间的距离，重构相应的“进化树”。

令N={1..n}，用一个N上的矩阵M来定义树T。其中，矩阵M满足：对于任意的i，j，k，有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足：

1．叶节点属于集合N；

2．边权均为非负整数；

3．dT(i,j)=M[i,j]，其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

如下图，矩阵M描述了一棵树。

树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M，它所能表示树的重量是惟一确定的，不可能找到两棵不同重量的树，它们都符合矩阵M。你的任务就是，根据给出的矩阵M，计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树，这棵树的总重量为15。

输入格式：

输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-1行，给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线)，矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

输入数据以n=0结尾。

输出格式：

对于每组输入，输出一行，一个整数，表示树的重量。

分析

我们先考虑n=2的情况，此时答案即为1与2之间的距离。

我们再考虑n=3的情况，如图

我们设两点间距离为T，则插入第3个点所增加的重量即为T23+T13-T12

我们再考虑n=4的情况，如图

我们不难发现因为4与12和3到12有重边，所以我们不能在用12两点的信息来更新4，但我们可以用13或23来更新。所以我们得出一个结论，在增加第i个点所增加的重量是小于i的任意两点所求得的新重量的最小值，即Δans=Min{Tji+Tki-Tjk}。因为n的范围很小，所有我们用三重循环求解即可。

代码

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#include<cstdio>
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#include<string>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#include<ctime>
#include<vector>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
using namespace std;
int g[1100][1100];
int main()
{     int n,m,i,j,k;
      scanf("%d",&n);
      while(n){   
         for(i=1;i<n;i++)
            for(j=i+1;j<=n;j++){ 
               scanf("%d",&g[i][j]);
               g[j][i]=g[i][j];
            }
         int ans=g[1][2],sum;
         for(i=3;i<=n;i++){
           sum=1000000007;
           for(j=1;j<i-1;j++)
             for(k=j+1;k<i;k++)
                sum=min(sum,(g[i][j]+g[i][k]-g[j][k])/2);
           ans+=sum;
         }
         printf("%d
",ans);
         scanf("%d",&n);
      }
      return 0;
}