P1268 树的重量构造

Posted 2021-03-08 orangeko

题目描述

树可以用来表示物种之间的进化关系。一棵“进化树”是一个带边权的树，其叶节点表示一个物种，两个叶节点之间的距离表示两个物种的差异。现在，一个重要的问题是，根据物种之间的距离，重构相应的“进化树”。

令N={1..n}，用一个N上的矩阵M来定义树T。其中，矩阵M满足：对于任意的i，j，k，有M[i,j] + M[j,k] >= M[i,k]。树T满足：

1．叶节点属于集合N；

2．边权均为非负整数；

3．dT(i,j)=M[i,j]，其中dT(i,j)表示树上i到j的最短路径长度。

如下图，矩阵M描述了一棵树。

树的重量是指树上所有边权之和。对于任意给出的合法矩阵M，它所能表示树的重量是惟一确定的，不可能找到两棵不同重量的树，它们都符合矩阵M。你的任务就是，根据给出的矩阵M，计算M所表示树的重量。下图是上面给出的矩阵M所能表示的一棵树，这棵树的总重量为15。

输入格式

输入数据包含若干组数据。每组数据的第一行是一个整数n(2<n<30)。其后n-1行，给出的是矩阵M的一个上三角(不包含对角线)，矩阵中所有元素是不超过100的非负整数。输入数据保证合法。

输入数据以n=0结尾。

输出格式

对于每组输入，输出一行，一个整数，表示树的重量。

输入输出样例

输入 #1

5
5 9 12 8
8 11 7
5 1
4
4
15 36 60
31 55
36
0

输出 #1

15
71

和Three Paths on a tree类似地构造一个树上最短路的式子
把整张图看作一张AOE网

 

通过这张网来建立一棵树，具体实现操作是：
1、把一个为入树的点入树
2、在已经入树的它的邻接点中遍历来更新把这个点入树的最小花费。

显然此时花费是 (dis[i][k] + dis[j][k] - dis[i][j]) / 2;

3、树的总重量加上把这个点入树的最小花费

CODE

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 #define dbg(x) cout << #x << "=" << x << endl
 3 #define eps 1e-8
 4 #define pi acos(-1.0)
 5 
 6 using namespace std;
 7 typedef long long LL;
 8 
 9 template<class T>inline void read(T &res)
10 {
11     char c;T flag=1;
12     while((c=getchar())<‘0‘||c>‘9‘)if(c==‘-‘)flag=-1;res=c-‘0‘;
13     while((c=getchar())>=‘0‘&&c<=‘9‘)res=res*10+c-‘0‘;res*=flag;
14 }
15 
16 namespace _buff {
17     const size_t BUFF = 1 << 19;
18     char ibuf[BUFF], *ib = ibuf, *ie = ibuf;
19     char getc() {
20         if (ib == ie) {
21             ib = ibuf;
22             ie = ibuf + fread(ibuf, 1, BUFF, stdin);
23         }
24         return ib == ie ? -1 : *ib++;
25     }
26 }
27 
28 int qread() {
29     using namespace _buff;
30     int ret = 0;
31     bool pos = true;
32     char c = getc();
33     for (; (c < ‘0‘ || c > ‘9‘) && c != ‘-‘; c = getc()) {
34         assert(~c);
35     }
36     if (c == ‘-‘) {
37         pos = false;
38         c = getc();
39     }
40     for (; c >= ‘0‘ && c <= ‘9‘; c = getc()) {
41         ret = (ret << 3) + (ret << 1) + (c ^ 48);
42     }
43     return pos ? ret : -ret;
44 }
45 
46 const int maxn = 107;
47 
48 int dis[maxn][maxn];
49 int n;
50 
51 int main()
52 {
53     while(scanf("%d",&n) && n) {
54         memset(dis, 0, sizeof(dis));
55         for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
56             for ( int j = i+1; j <= n; ++j ) {
57                 read(dis[i][j]);
58                 dis[j][i] = dis[i][j];
59             }
60         }
61         int weight = 0;
62         int v = 1;
63         for ( int i = 1; i <= n; ++i ) {
64             int cost = 0x3f3f3f3f;
65             for ( int j = 1; j < i; ++j ) {
66                 int temp = dis[i][v] + dis[i][j] - dis[v][j];
67                 cost = min(cost, temp / 2);
68                 //dbg(cost);
69             }
70             if(cost != 0x3f3f3f3f)
71                 weight += cost;
72         }
73         cout << weight << endl;
74     }
75     return 0;
76 }

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