题解报告：hdu 1527 取石子游戏（威佐夫博弈）

Posted 2020-11-08 霜雪千年

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1527

Problem Description

有两堆石子，数量任意，可以不同。游戏开始由两个人轮流取石子。游戏规定，每次有两种不同的取法，一是可以在任意的一堆中取走任意多的石子；二是可以在两堆中同时取走相同数量的石子。最后把石子全部取完者为胜者。现在给出初始的两堆石子的数目，如果轮到你先取，假设双方都采取最好的策略，问最后你是胜者还是败者。

Input

输入包含若干行，表示若干种石子的初始情况，其中每一行包含两个非负整数a和b，表示两堆石子的数目，a和b都不大于1,000,000,000。

Output

输出对应也有若干行，每行包含一个数字1或0，如果最后你是胜者，则为1，反之，则为0。

Sample Input

2 1

8 4

4 7

Sample Output

0

1

0

解题思路：参考百度百科：威佐夫博弈

典型的威佐夫博弈，模型就是有两堆各若干个物品，两个人轮流从某一堆取至少一个或同时从两堆中取同样多的物品，规定每次至少取一个，多者不限，最后取光者得胜。

我们用（a[k]，b[k]）（a[k] ≤ b[k] ,k=0，1，2，...,n)（表示两堆物品的数量并称其为局势，如果甲面对（0，0），那么甲已经输了，这种局势我们称为奇异局势。前几个奇异局势是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。注：k表示奇异局势的序号， 第一个奇异局势k=0。
可以看出,a[0]=b[0]=0,a[k]是未在前面出现过的最小自然数,而 b[k]= a[k] + k。

两个人如果都采用正确操作（最优策略），那么面对非奇异局势，先手必胜；反之，则后手必胜。
那么任给一个局势（a，b），怎样判断它是不是奇异局势呢？我们有如下公式：
ak =[k*（1+√5）/2]，bk= ak + k （k=0，1，2，...n 方括号表示取整函数)
奇妙的是其中出现了黄金分割数（1+√5）/2 = 1.618...因此，由ak，bk组成的矩形近似为黄金矩形，由于2/（1+√5）=（√5-1）/2，可以先求出j=[a（√5-1）/2]，若a=[j（1+√5）/2]，那么a = aj，bj = aj + j，若不等于，那么a = aj+1，b = aj + j + 1，若都不是，那么就不是奇异局势。然后再按照上述法则进行，一定会遇到奇异局势。

结论：若两堆物品的初始值为（x，y），且x<y，则令z=y-x；

记w=（int）[（（sqrt（5）+1）/2）*z ]；若w=x，则（面对奇异局势）先手必败，否则先手必胜。

AC代码：

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 int main()
 4 {
 5     int a,b;
 6     while(cin>>a>>b){
 7         if(a>b)swap(a,b);//以便做差值，取正值
 8         int tmp=floor((b-a)*(1+sqrt(5.0))/2.0);
 9         if(a==tmp)cout<<‘0‘<<endl;//如果面对奇异局势，则后手必赢，先手必输
10         else cout<<‘1‘<<endl;//否则先手必赢
11     }
12     return 0;
13 }