NOIP200407合唱队形+最长上升子序列O(n^2)详解

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合唱队形解题报告

2016-05-12   430——645

NOIP200407合唱队形

难度级别:A; 运行时间限制:1000ms; 运行空间限制:256000KB; 代码长度限制:2000000B

试题描述

 N位同学站成一排,音乐老师要请其中的(N-K)位同学出列,使得剩下的K位同学排成合唱队形。
    合唱队形是指这样的一种队形:设K位同学从左到右依次编号为1,2…,K,他们的身高分别为T1,T2,…,TK,则他们的身高满足T1<...<Ti>Ti+1>…>TK(1<=i<=K)。
    你的任务是,已知所有N位同学的身高,计算最少需要几位同学出列,可以使得剩下的同学排成合唱队形。

输入

第一行是一个整数N(2<=N<=100),表示同学的总数。第一行有n个整数,用空格分隔,第i个整数Ti(130<=Ti<=230)是第i位同学的身高(厘米)。

输出

包括一行,这一行只包含一个整数,就是最少需要几位同学出列。

输入示例

8
186 186 150 200 160 130 197 220

输出示例

4

其他说明

数据范围:n<=100。

 

代码:

 1 #include<iostream>
 2 
 3 using namespace std;
 4 
 5 int b[110],c[110],a[110];
 6 
 7 //    分别定义了三个数组:数组a(用来储存输入数据),数组b(用来存储从a[1]到a[n]的最大严格上升子序列长度),数组c(用来存储从a[n]到a[1]的最大严格下降子序列长度)
 8 
 9 int main()
10 
11 {
12 
13    
14 
15     int n,ans=0,i,j;
16 
17     scanf("%d",&n);//输入
18 
19     for(i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
20 
21     b[1]=1;
22 
23 for(i=2;i<=n;i++)
24 
25 //从a[2]开始求最大严格上升子序列长度
26 
27        {
28 
29         b[i]=1;
30 
31         for(j=1;j<i;j++)
32 
33             if(a[i]>a[j]) b[i]=max(b[i],b[j]+1);
34 
35             //如果a[i]>a[j],则可能从a[1]到a[i]的最大严格上升子序列长度又增加了1。
36 
37     }
38 
39 c[n]=1;
40 
41 //从a[n]开始求最大严格上升子序列长度
42 
43     for(i=n-1;i>=1;i--)
44 
45        {
46 
47         c[i]=1;
48 
49         for(j=n;j>i;j--)
50 
51             if(a[i]>a[j]) c[i]=max(c[i],c[j]+1);
52 
53             //如果a[i]<a[j],则可能从a[i]到a[n]的最大严格上升子序列长度又增加了1。
54 
55     }
56 
57     for(i=1;i<=n;i++)
58 
59         if(b[i]+c[i]>ans) ans=b[i]+c[i];//更新答案
60 
61     printf("%d",n-ans+1);//输出
62 
63 }
View Code

《合唱队形》这道题其实就是《求最长下降/上升子序列》的翻版。但如果用循环直接搜固然很难办,而且不知道会用多长时间,所以,简单动态规划的思想很容易办到。

b[i]=1;

这句赋值语句固然很好理解,每一个元素,也可以视为一个符合题意的子序列,不论是最长上升、最长下降。所以从a[1]

a[i]的符合题意的子序列必将有一个。比如有如下一组数。

b[1]  1,原因如上。

b[2]呢?如图,它显然比a[1]高,在执行如下语句时

for(j=1;j<i;j++)   if(a[i]>a[j])

j小于i,也就是2,目前符合条件的只有a[1]a[1]又通过了判断语句,它确实小于a[i],执行下一条语句:

b[i]=max(b[i],b[j]+1);

b[2]显然原来是1,当它和b[1]+1比时,1当然比2小,所以,b[2]自然就是2了。由此,这个方法只需要一维数组就行了。、

O(nlogn)的方法,将下次介绍。这样的方法的时间复杂度为O(n^2)


b[1]=1;

解决完了这个问题,这道题就非常简单了,先从下往上搜一遍最长上升子序列,代码如下:

for(i=2;i<=n;i++)

       {

        b[i]=1;

        for(j=1;j<i;j++)

            if(a[i]>a[j]) b[i]=max(b[i],b[j]+1);

}

再反着从上往下搜一下最长上升子序列:

这段代码一定就很好理解了:

for(i=1;i<=n;i++)

        if(b[i]+c[i]>ans) ans=b[i]+c[i];

一直更新ans,要求出队人数最少,自然要让保留人数最多。

最后输出n-ans+1

以上是关于NOIP200407合唱队形+最长上升子序列O(n^2)详解的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

P1091 合唱队形 最长上升子序列

最长上升子序列

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Luogu P1091 合唱队形

Luogu1091 合唱队形

合唱队形