求划分因子乘积最大的一个划分及此乘积

Posted 2020-11-06 Roni

求划分因子乘积最大的一个划分及此乘积
　　问题简述：给定一个正整数n, 则在n所有的划分中, 求因子乘积最大的一个划分及此乘积。例如：8 = {8}, {7, 1}, {6, 2}, {5, 3}, {4, 4}, {3, 3, 2}, {2, 2, 2, 2} 等，那么在这些当中，3 * 3 * 2 的乘积最大，所以输出整个划分
和这个乘积 18。
　　算法分析：这是我在某个论坛上看到的问题，以及别人针对此问题的数学分析，现简单的整理如下：
　　(1)对于任意大于等于4的正整数m, 存在一个划分m = m1+m2, 使 m1m2 >= m证: 令m1 = int(m/2), 则 m1 >= 2 ， m2 = m-m1; 那么m2 > 2，并且 m2 >= m/2 >= m1; m1m2 >= 2m2 >= m; 证毕;
该证明简单的来说就是：对于一个大于等于4的正整数m，存在一个2块划分的因子，这两个因子的乘积总是不小于原数m本身。
　　(2)由(1)知此数最终可以分解为 2^r 3^s。现证明 r <= 2;
　　证：若r > 2, 则至少有3个因子为2, 而222 < 33;
　　所以可以将3个为2的因子,换为两个因子3；积更大；证毕。
　　综合(1)，(2)，则有：任何大于4的因子都可以有更好的分解, 而4可以分解为22。
　　所以：此数应该分解为 2^k1 * 3^k2。而且可以证明 k1>=0 并且 k1 <= 2，因此：
　　 A.当n = 3r 时, 分解为 3^r
　　 B.当n = 3r+1时, 分解为 3^(r-1)22
　　C.当n = 3r+2时, 分解为 3^r2
　　剩下编程处理，那就是太简单了，首先是处理 <= 4的特殊情况，再对>4的情况进行模3的3种情况的判断，最后一一输出。可见，数学在整数划分问题上有太强的功能。谁叫这个问题叫整数划分呢，不与数学密切才怪! ^_^。