BZOJ1263 [SCOI2006]整数划分

Posted 2020-09-23 _rqy

Description

从文件中读入一个正整数n（10≤n≤31000）。要求将n写成若干个正整数之和，并且使这些正整数的乘积最大。 例如，n=13，则当n表示为4+3+3+3（或2+2+3+3+3）时，乘积=108为最大。

Input

只有一个正整数： n （10≤n≤31000）

Output

第1行输出一个整数，为最大乘积的位数。 第2行输出最大乘积的前100位，如果不足100位，则按实际位数输出最大乘积。 （提示：在给定的范围内，最大乘积的位数不超过5000位）。

Sample Input

13

Sample Output

3
108

题解

由于对于$a > 1, b > 1$， 有$ab \geq a+b$（因为$ab-a-b=ab-a-b+1-1=(a-1)(b-1)-1\geq 1-1=0$），所以在答案中一定只存在$2,3$两个数（因为其它数都可以写成它们的和）。

那么，若$n>7$，那么答案中要么有三个以上的2，要么有两个以上的3，而$3^2=9>8=2^3$，所以答案一定有两个3.

那么ans*=9;n-=6;直到$n\leq 7$，这个时候直接查表。

附代码：

#include <cstdio>
int len, ans[5050];
void mul(int x) {
  int i, c;
  for (i = 0, c = 0; i < len || c; ++i) {
    c = (ans[i] = ans[i] * x + c) / 10;
    ans[i] %= 10;
  }
  len = i;
}
const int e[] = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12};
int main() {
  int n;
  scanf("%d", &n);
  len = 1, ans[0] = 1;
  while (n > 7) {
    mul(9);
    n -= 6;
  }
  mul(e[n]);
  printf("%d\n", len);
  for (int i = len - 1; ~i && i >= len - 100; --i)
    printf("%d", ans[i]);
  return 0;
}