bzoj3028 食物 生成函数+隔板法

Posted 2020-11-04 $mathit{AlphaINF}$

题目传送门：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3028

 

这题的推导很妙啊，裸的推母函数的题。

我们首先构造出每种食物的母函数：

汉堡：$1+x^2+x^4+……=\\frac{1}{1-x^2}$

可乐：$1+x=\\frac{1-x^2}{1-x}$

鸡腿：$1+x+x^2=\\frac{1-x^3}{1-x}$

蜜桃：$x+x^3+x^5+......=\\frac{x}{1-x^2}$

鸡块：$1+x^4+x^8+......=\\frac{1}{1-x^4}$

包子：$1+x+x^2+x^3=\\frac{1-x^4}{1-x}$

炒肉：$1+x=\\frac{1-x^2}{1-x}$

面包：$1+x^3+x^6+......=\\frac{1}{1-x^3}$

 

然后，我们将这八个母函数乘起来，得到$\\frac{x}{(1-x)^4}$，所求答案为$\\frac{x}{(1-x)^4}$的n次项系数。

考虑如何求这个东西，不难发现，$\\frac{x}{(1-x)^4}=x \\times (\\frac{1}{1-x})^4$，然后又因为$\\frac{1}{1-x}=\\sum_{i=0}{\\infty} x^i$，可以想象成有一个物品集合A，其中每种权值恰好有1个，那么$\\frac{x}{(1-x)^4}$的n次项系数相当于从4个A集合中各取出1个，并且这4个物品的权值和为n的方案数，这个东西通过插板法简单推导下可以推出其答案为$\\binom{n+2}{3}$。

由于n很大，读入的时候先取个模再求答案即可。

代码很短，推导稍长....

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define MOD 10007
 3 #define INV6 1668
 4 using namespace std;
 5 char c[12345]={0};
 6 
 7 int main(){
 8     scanf("%s",c);
 9     int len=strlen(c),n=0;
10     for(int i=0;i<len;i++) n=(n*10+c[i]-\'0\')%MOD;
11     printf("%d\\n",n*(n+1)%MOD*(n+2)%MOD*INV6%MOD);
12 }