BZOJ3105-新Nim游戏

Posted 2020-11-02 -chamgin

Description

传统的Nim游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和Nim游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

Input

第一行为整数k。即火柴堆数。第二行包含k个不超过10⁹的正整数，即各堆的火柴个数。

Output

输出第一回合拿的火柴数目的最小值。如果不能保证取胜，输出-1。

Sample Input

6
5 5 6 6 5 5

Sample Output

21

 

先手要先选一些堆去掉，然后剩下的让对手无论怎么去掉一些，结果XOR值都不为0，这就是先手的必胜策略。

可以知道总是必胜的，因为至少可以拿只剩一堆，使得对方不能拿（不能全部拿走）。

那么让对手无论怎么拿走后的XOR值不为0，就是说我们要求这K个数的极大线性无关组。

而且这题还需要拿走的最少，也就是剩下的尽量大。那么可以从大到小排序，优先拿大的数添加。

这个性质可以用线性基很好的解决。一开始用高斯消元，但是不能解决拿什么数得到极大线性无关组，2^k肯定是不行的。

代码如下：

#include <iostream>
#include <string.h>
#include <string>
#include <map>
#include <algorithm>
#include <stdio.h>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long ll;
int v[233],vec[233];
int bin[233],zhi,cir;
void gauss(int x)
{
    cir=x;
    for(int i=0;i<=30;++i)bin[i]=1<<i;
    for(int i=bin[30];i;i>>=1){
        //cout<<"h"<<endl;
        int j=zhi+1;
        while(j<=cir&&!(v[j]&i))++j;
        if(j>cir)continue;
        zhi++;
        swap(v[zhi],v[j]);
        for(int k=1;k<=cir;++k)
            if(k!=zhi&&(v[k]&i))
                v[k]^=v[zhi];
    }
}
int add(int x)
{
    for(int i=30;~i;--i){
        if(x&(1<<i)){
            if(!v[i]){
                v[i]=x;
                break;
            }
            x^=v[i];
        }
    }
    return x>0;
}
int  main(){
    int k;cin>>k;
    for(int i=1;i<=k;++i){
        cin>>vec[i];
    }
    sort(vec+1,vec+1+k,greater<int>());
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=k;++i){
        if(!add(vec[i]))
            ans+=vec[i];
    }
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}