NOIP2017D2T3 列队—Treap

Posted 2020-11-02 时间飞逝

NOIP2017列队

Description

　　Sylvia 是一个热爱学习的女孩子。 
　　前段时间，Sylvia 参加了学校的军训。众所周知，军训的时候需要站方阵。 Sylvia所在的方阵中有n × m名学生，方阵的行数为 n，列数为m。 
　　为了便于管理，教官在训练开始时，按照从前到后，从左到右的顺序给方阵中的学生从 1 到 n × m 编上了号码（参见后面的样例）。即：初始时，第 i 行第 j 列的学生的编号是(i−1)×m+j。 
　　然而在练习方阵的时候，经常会有学生因为各种各样的事情需要离队。在一天中，一共发生了 q 件这样的离队事件。每一次离队事件可以用数对(x, y) (1≤x≤n, 1≤y≤m)描述，表示第 x 行第 y 列的学生离队。 
　　在有学生离队后，队伍中出现了一个空位。为了队伍的整齐，教官会依次下达这样的两条指令： 
　　　　1. 向左看齐。这时第一列保持不动，所有学生向左填补空缺。不难发现在这条指令之后，空位在第 x 行第 m 列。 
　　　　2. 向前看齐。这时第一行保持不动，所有学生向前填补空缺。不难发现在这条指令之后，空位在第 n 行第 m 列。 
　　教官规定不能有两个或更多学生同时离队。即在前一个离队的学生归队之后，下一个学生才能离队。因此在每一个离队的学生要归队时，队伍中有且仅有第 n 行第 m 列一个空位，这时这个学生会自然地填补到这个位置。 
　　因为站方阵真的很无聊，所以 Sylvia 想要计算每一次离队事件中，离队的同学的编号是多少。 
　　注意：每一个同学的编号不会随着离队事件的发生而改变，在发生离队事件后方阵中同学的编号可能是乱序的。 

Input

输入共 q+1 行。 
第1 行包含 3 个用空格分隔的正整数 n, m, q，表示方阵大小是 n行 m 列，一共发生了q 次事件。 
接下来 q 行按照事件发生顺序描述了 q 件事件。每一行是两个整数 x, y，用一个空格分隔，表示这个离队事件中离队的学生当时排在第 x 行第 y 列。 

Output

按照事件输入的顺序，每一个事件输出一行一个整数，表示这个离队事件中离队学生的编号。 

Sample Input

2 2 3
1 1
2 2
1 2

Sample Output

1
1
4

HINT

【样例解释】

列队的过程如上图所示，每一行描述了一个事件。 
在第一个事件中，编号为 1 的同学离队，这时空位在第一行第一列。接着所有同学向左标齐，这时编号为 2 的同学向左移动一步，空位移动到第一行第二列。然后所有同学向上标齐，这时编号为 4 的同学向上一步，这时空位移动到第二行第二列。最后编号为1 的同学返回填补到空位中。

【数据规模】

数据保证每一个事件满足 1≤x≤n,1≤y≤m。

测试点编号	n	m	q	其他约定
1,2,3,4,5,6	<=1000	<=1000	<=500	无
7,8,9,10	<=5*104	<=5*104
11,12	=1	<=105	<=105	所有事件x=1
13,14		<=3*105	<=3*105
15,16	<=3*105
17,18	<=105	<=105	<=105	无
19,20	<=3*105	<=3*105	<=3*105

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

思路

　　这道题的前三十分暴力似乎很好写，就是模拟，我在赛场上也就写了这三十分，等到前两天学习平衡树后，才知道这道题用平衡树是那么好写，在这里我说一下我的思路。

　　看题目描述，我们易知，这道题的难点就是查询和每一行添加学生，我们可以开n+1个平衡树，维护出来当前每一行和最后一列的编号，每一次查询的时候，如果不在最后一列我们就可以在前n个平衡树里寻找，再第x可线段树中找到第y个就是答案，再在最后一列中找到第x个，插入到第x课平衡树里就可以啦，再把答案直接就添加到最后一列的平衡树里就好了，如果查询是在最后一列里面，直接进行最后两行就好了。我们分析一下时间复杂度，O(qlogn)是不是十分优秀，但我们再分析一下空间复杂度n*m，直接懵逼，MLE。

　　我们再仔细分析，发现有些同学的左右同学可能这辈子也不变，那我们是不是就可以把他们合成一个节点，记录一下这一个大节点的序号的左端点和右端点是谁，这样我们就可以把空间复杂度降下来了，均摊q。是不是甚好？但是查询就又出现问题了，我们可以根据在当前节点的第几个直接查询到，但删除这同学怎么办？我们是不是可以把这个大节点分裂成三个节点？分裂成答案同学的左半部分，答案同学和答案同学的右半部分，这三部分，删除的时候直接删除答案同学是不是就可以了？但记住原来的大节点也一定要删除！！！这就是这道题的思路。最后还要说一下，Treap最好用结构体，因为常数会比较小，代码会跑的更快。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define Q 3000001
#define N 300010
#define update(p) treap[p].size=treap[treap[p].lson].size+treap[treap[p].rson].size+treap[p].to-treap[p].from+1
struct Treap
{
    int lson,rson,ord,size;
    long long from,to;
}treap[Q];
int root[N];
int n,m,q;
int place,idx;
long long ans;
char nc()
{
    static char buf[100000],*p1,*p2;
    return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;
}
inline int rd()
{
    register int x=0;char s=nc();
    while(s<‘0‘||s>‘9‘)s=nc();
    while(s>=‘0‘&&s<=‘9‘)x=x*10+s-‘0‘,s=nc();
    return x;
}
void lturn(int &p)
{
    if(!treap[p].rson) return;
    int tmp=treap[p].rson;
    treap[p].rson=treap[tmp].lson,treap[tmp].lson=p;
    treap[tmp].size=treap[p].size,update(p),p=tmp;
}
void rturn(int &p)
{
    if(!treap[p].lson) return;
    int tmp=treap[p].lson;
    treap[p].lson=treap[tmp].rson,treap[tmp].rson=p;
    treap[tmp].size=treap[p].size,update(p),p=tmp;
}
void add(int &p,long long f,long long t)
{
    if(!p)
    {
        p=++idx;
        treap[p].from=f,treap[p].to=t;
        treap[p].ord=rand(),update(p);
        return;
    }
    add(treap[p].rson,f,t);
    update(p);
    if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
    if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
}
void del(int &p,int order)
{
    if(!p) return;
    if(p==order)
    {
        if(treap[p].lson*treap[p].rson==0) p=treap[p].lson+treap[p].rson;
        else if(treap[treap[p].lson].ord<treap[treap[p].rson].ord) rturn(p);
        else if(treap[treap[p].rson].ord<=treap[treap[p].lson].ord) lturn(p);
        del(p,order);
        return;
    }
    if(treap[p].lson==order) del(treap[p].lson,order);
    if(treap[p].rson==order) del(treap[p].rson,order);
    update(p);
}
void find_ans(int &p,int x)
{
    if(!p) return;
    if(treap[treap[p].lson].size>=x)
    { 
        find_ans(treap[p].lson,x),update(p);
        if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
        if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
        return;
    }
    else if(treap[p].size-treap[treap[p].rson].size<x)
    {
        find_ans(treap[p].rson,x-treap[p].size+treap[treap[p].rson].size),update(p);
        if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
        if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
        return;
    }
    x-=treap[treap[p].lson].size,ans=treap[p].from+x-1;
    if(x==1&&x==treap[p].size-treap[treap[p].lson].size-treap[treap[p].rson].size)
    {
        del(p,p);
        return;
    }
    if(x==1) treap[p].from++,update(p);
    else if(x==treap[p].size-treap[treap[p].lson].size-treap[treap[p].rson].size)
        treap[p].to--,update(p);
    else
    {
        int tmp=++idx;
        treap[tmp].to=treap[p].to;
        treap[p].to=treap[p].from+x-2;
        treap[tmp].from=treap[p].from+x;
        treap[tmp].rson=treap[p].rson;
        treap[p].rson=tmp;
        update(tmp),update(p);
        treap[tmp].ord=rand();
        if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
        if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
    }
}
void find_ans2(int &p,int x)
{
    if(!p) return;
    if(treap[treap[p].lson].size>=x)
    { 
        find_ans2(treap[p].lson,x),update(p);
        if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
        if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
        return;
    }
    else if(treap[p].size-treap[treap[p].rson].size<x)
    { 
        find_ans2(treap[p].rson,x-treap[p].size+treap[treap[p].rson].size),update(p);
        if(treap[treap[p].rson].ord<treap[p].ord) lturn(p);
        if(treap[treap[p].lson].ord<treap[p].ord) rturn(p);
        return;
    }
    ans=treap[p].from;
    del(p,p);
}
int main()
{
    srand(37975);
    n=rd();m=rd();q=rd();
    for(long long i=1;i<=n;i++)
        add(root[i],(i-1)*m+1,(i-1)*m+m-1);
    for(long long i=1;i<=n;i++)
        add(root[n+1],i*m,i*m);
    for(int i=1;i<=q;i++)
    {
        int a,b;
        a=rd();b=rd();
        if(b<m) find_ans(root[a],b);
        else find_ans2(root[n+1],a);
        long long tmp1=ans;
        printf("%lld\n",tmp1);
        if(b<m)
        {
            find_ans2(root[n+1],a);
            long long tmp2=ans;
            add(root[a],tmp2,tmp2);
        }
        add(root[n+1],tmp1,tmp1);
    }
}