ASTAR2016 ROUND2B 1003 瞬间移动

Posted 2020-07-10

http://bestcoder.hdu.edu.cn/contests/contest_showproblem.php?cid=702&pid=1003

Problem Description

有一个无限大的矩形，初始时你在左上角（即第一行第一列），每次你都可以选择一个右下方格子（严格在当前位置的右下），并瞬移过去（如从下图中的红色格子能直接瞬移到蓝色格子），求到第n行第m列的格子有几种方案，答案对1000000007取模。

Input

多组测试数据。

两个整数n,m(2≤n,m≤100000)。

Sample Input

4 5

Sample Output

10

Solution

假设一共移动了 r 步，第 i 步横向走了 x[i]，纵向走了 y[i]，那么就有 x[1] + ... + x[r] = m-1; y[1] + ... + y[r] = n-1。只要计算这样的数组有多少就可以了，考查一个数 s 划分为 r 个可以相同的正整数，利用插板的模型可以发现划分数是 C(s-1, r-1)。那么对于当前的 r，一共的路径数目就是 C(n-2, r-1) * C(m-2, r-1)。

枚举 r 取 1 到 min(n-1, m-1)，就可以通过这道题。

如果换个角度考虑的话，还可以更容易，先列出前面 5 行 5 列的方案数的表：

1  0  0  0  0
0  1  1  1  1
0  1  2  3  4
0  1  3  6 10
0  1  4 10 20

我们容易推知：

但是这样计算不便，我们考虑一下简化，f(n, m) = f(n-1,m) + f(n,m-1) + f(n-1,m-1) - T。我们用 T 表示 f(n-1,m) 和 f(n,m-1) 的重复部分。不难看出这个重复部分就是 f(n-1,m-1)，所以我们有 f(n, m) = f(n-1,m) + f(n,m-1)。

发现了这一点，就可以明白，答案就是从 (2,2) 到 (n, m) 的“不后退路径”数，也就是 C(n-2 + m-2, n-2)。