Havel-Hakimi定理---通过度数列判断是否可图化

Posted 2020-10-30 努力努力再努力x

0、可图：一个非负整数组成的序列如果是某个无向图的度序列，则该序列是可图的。

1、度序列：Sequence Degree，若把图G所有顶点的度数排成一个序列，责成该序列为图G的一个序列。该序列可以是非递增序的、可以是非递减序列、可以是任意无序的。

2、Havel-Hakimi定理：给定一个非负整数序列{d1,d2,...dn}，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化。

定理描述：由非负整数组成的有限非递增序列，S={d1,d2,d3...dn}，当且仅当S1={d2-1,d3-1...d(d1+1),d(d1+2)......dn}也是可图的，也就是说，序列S1也是由非负整数组成的有限非递增序列，S1是由S的删除第一个元素d1之后的前d1个元素分别减一后得到的序列。

（注，Havel-Hakimi定理 讨论的是在非递增序列下判别是否可图的定理）

3、证明略，实例演示：

判断序列S:=6，5，4，3，3，3，2，0 是否可图。

证：a. 删除首元素6，将除去第一个元素后面的6个元素减一，得到：S1 = 4,3,2,2,2,1,0

b.删除首元素4，将除去第一个元素后面的4个元素减一，得到：S2 = 2,1,1,1,1,0

c,删除首元素2，将除去第一个元素后面的2个元素减一，得到：S3 = 0,0,1,1,0

d.重新排序：S4 = 1,1,0,0,0

e.删除首元素1，将除去第一个元素后面的1个元素减一，得到：S3 = 0,0,0,0

则最后得到的是非负序列，证明 序列式可图的！

 

判断序列S:=7，6，4，3，3，3，2，1 是否可图。

证：a. 删除首元素7，将除去第一个元素后面的7个元素减一，得到：S1 = 6,3,2,2,2,1,0

b.删除首元素6，将除去第一个元素后面的6个元素减一，得到：S2 = 2,1,1,1,0,-1

最后得到的是存在负数的序列，证明 序列式不可图的！

例题：POJ-1659