初学矩阵树定理

Posted 2022-06-18 chenxiaoran666

前言

矩阵树定理，最基础的作用是用于求一张无向图中的生成树个数。

当然它还能扩展到有向图，以及有其他许多应用。但我都不会。

相关定义

先给出最基础的矩阵树定理的几个相关定义：

• 度数矩阵： 第\\(i\\)行第\\(i\\)列位置上的值为节点\\(i\\)的度数，其余位置为\\(0\\)。
• 邻接矩阵： 第\\(i\\)行第\\(j\\)列的值在\\(i\\)与\\(j\\)有边相连时为\\(1\\)，否则为\\(0\\)。
• 行列式： 用高斯消元把矩阵消得只剩左上-右下对角线右上方的这个三角形，然后左上-右下对角线上所有元素的乘积即为该矩阵行列式的值。

基础矩阵树定理

无向图生成树个数，就是其度数矩阵减邻接矩阵后行列式的值。

证明？我这么弱，显然不会。