度序列可图性判断(Havel-Hakimi定理)

Posted 2021-03-26 wangziqiang123

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Havel定理描述

给定一个非负整数序列{d1,d2,…dn}，若存在一个无向图使得图中各点的度与此序列一一对应，则称此序列可图化。进一步，若图为简单图，则称此序列可简单图化。

可图化的判定比较简单:

1. $d_1 + d_2 + d_3 +…+d_n = 0(mod2)$
2. $n-1geq d_{max}$

关于具体图的构造，我们可以简单地把奇数度的点配对，剩下的全部搞成自环。

可简单图化的判定，有一个Havel定理，是说: 我们把序列排成不增序，即d1>=d2>=…>=dn，则d可简单图化当且仅当d’=(d2-1, d3-1, … d(d1+1)-1, d(d1+2), d(d1+3), … dn)可简单图化。这个定理写起来麻烦，实际上就是说，我们把d排序以后，找出度最大的点(设度为d1)，把它和度次大的d1个点之间连边，然后这个点就可以不管了，一直继续这个过程，直到建出完整的图，或出现负度等明显不合理的情况。

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演示

给出序列序列：

4 7 7 3 3 3 2 1

降序排序

7 7 4 3 3 3 2 1

删除第一个数字7，将其后7个数都减去1,并重新排序

6 3 2 2 2 1 0

重复步骤

2 1 1 1 0 -1

发现有负数，则这个序列不能组成简单图

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再给出

5 4 3 3 2 2 2 1 1 1

删除数字5，将其后5个数都减去1，并重新排序

3 2 2 2 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 0

…以此类推，直至

0 0 0

所以可以组成简单图

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参考资料及习题

Havel-Hakimi定理
HDOJ2454 Degree Sequence of Graph G

原文:大专栏  度序列可图性判断(Havel-Hakimi定理)