格雷码那点事——递归非递归实现

简介

　　在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码（Gray Code），另外由于最大数与最小数之间也仅一位数不同，即“首尾相连”，因此又称循环码或反射码。在数字系统中，常要求代码按一定顺序变化。例如，按自然数递增计数，若采用8421码，则数0111变到1000时四位均要变化，而在实际电路中，4位的变化不可能绝对同时发生，则计数中可能出现短暂的其它代码（1100、1111等）。在特定情况下可能导致电路状态错误或输入错误。使用格雷码可以避免这种错误。格雷码有多种编码形式。

　　格雷码（Gray Code）曾用过Grey Code、葛莱码、格莱码、戈莱码、循环码、反射二进制码、最小差错码等名字，它们有的不对，有的易与其它名称混淆，建议不要再使用这些曾用名。

　格雷码是一种具有反射特性和循环特性的单步自补码，其循环和单步特性消除了随机取数时出现重大错误的可能，其反射和自补特性使得对其进行求反操作也非常方便，所以，格雷码属于一种可靠性编码，是一种错误最小化的编码方式，因此格雷码在通信和测量技术中得到广泛应用。

生成格雷码　

　　格雷码(Gray Code)是一个数列集合，每个数使用二进位来表示，假设使用n位元来表示每个数字，任两个数之间只有一个位元值不同。

　　例如以下为3位元的格雷码： 000 001 011 010 110 111 101 100 。

　　如果要产生n位元的格雷码，那么格雷码的个数为2^n.

 

　　假设原始的值从0开始，格雷码产生的规律是：

第一步，改变最右边的位元值；

第二步，改变右起第一个为1的位元的左边位元；

第三步，第四步重复第一步和第二步，直到所有的格雷码产生完毕（换句话说，已经走了(2^n) - 1 步）。

 

用一个例子来说明：

　　假设产生3位元的格雷码，原始值位 000

　　第一步：改变最右边的位元值： 001

　　第二步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 011

　　第三步：改变最右边的位元值： 010

　　第四步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 110

　　第五步：改变最右边的位元值： 111

　　第六步：改变右起第一个为1的位元的左边位元： 101

　　第七步：改变最右边的位元值： 100

 

　　如果按照这个规则来生成格雷码，是没有问题的，但是这样做太复杂了。如果仔细观察格雷码的结构，我们会有以下发现：

　　1、除了最高位（左边第一位），格雷码的位元完全上下对称（看下面列表）。比如第一个格雷码与最后一个格雷码对称（除了第一位），第二个格雷码与倒数第二个对称，以此类推。

　　2、最小的重复单元是 0 , 1。

000
001
011
010
110
111
101
100

　　所以，在实现的时候，我们完全可以利用递归，在每一层前面加上0或者1，然后就可以列出所有的格雷码。

　　比如：

　　第一步：产生 0, 1 两个字符串。

　　第二步：在第一步的基础上，每一个字符串都加上0和1，但是每次只能加一个，所以得做两次。这样就变成了 00,01,11,10 （注意对称）。

　　第三步：在第二步的基础上，再给每个字符串都加上0和1，同样，每次只能加一个，这样就变成了 000,001,011,010,110,111,101,100。

　　好了，这样就把3位元格雷码生成好了。

　　如果要生成4位元格雷码，我们只需要在3位元格雷码上再加一层0,1就可以了： 0000,0001,0011,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,1110,1010,0111,1001,1000.

 

　　也就是说，n位元格雷码是基于n-1位元格雷码产生的。

 

算法实现

1、递归实现

/**
     * 递归生成二进制格雷码
     * 思路:1、获得n-1位生成格雷码的数组
     *      2、由于n位生成的格雷码位数是n-1的两倍，故只要在n为格雷码的前半部分加0，后半部分加1即可。
     * @param n 格雷码的位数
     * @return 生成的格雷码数组
     */
    public static String[] GrayCode(int n) {
    //数组的大小是2的n次方，因为n位的格雷码有2的n次方种排列
    String[] grayCodeArr = new String[(int)Math.pow(2, n)];
    
    if(n < 1)
    {
        System.out.println("你输入的格雷码位数有误！");
    }
    
    if(1 == n)
    {
        grayCodeArr[0] = "0";
        grayCodeArr[1] = "1";
        return grayCodeArr;
    }
    
    //n-1 位格雷码的生成方式
    String[] before = GrayCode(n-1);
    
    for(int i = 0 ; i < before.length ; i++){
        grayCodeArr[i] = "0" + before[i];
        grayCodeArr[grayCodeArr.length -1 - i] = "1" + before[i];
    }
    
    return grayCodeArr;
    
    }

 

2、非递归实现

  /**
     * 非递归生成二进制格雷码
     * 思路:1、获得n-1位生成格雷码的数组
     *      2、由于n位生成的格雷码位数是n-1的两倍，故只要在n为格雷码的前半部分加0，后半部分加1即可。
     * @param n 格雷码的位数
     * @return 生成的格雷码数组
     */
    public static String[] GrayCode2(int n)
    {
    
    
    int num = (int)Math.pow(2, n);//根据输入的整数，计算出此Gray序列大小
    String[] s1 = {"0","1"};//第一个Gray序列
    
    if(n < 1)
    {
        System.out.println("你输入的格雷码位数有误！");
    }
    
    for(int i=2;i<=n;i++){//循环根据第一个Gray序列，来一个一个的求
    int p = (int)Math.pow(2, i);//到了第几个的时候，来计算出此Gray序列大小
    String[] si = new String[p];
    for(int j=0;j<p;j++){//循环根据某个Gray序列，来一个一个的求此序列
    if(j<(p/2)){
    si[j] = "0" + s1[j];//原始序列前面加上"0"
    }else{
    si[j] = "1" + s1[p-j-1];//原始序列反序，前面加上"1"
    }
    }
    s1 = si;//把求得的si，附给s1,以便求下一个Gray序列
    }
    
    return s1;
    }

 

3、测试

public static void main(String[] args) {
    
    System.out.println("————————————————————递归实现————————————————");
    String[] strArr = GrayCode(4);
    for(int i = 0 ; i < strArr.length ; i++)
    {
        System.out.println(strArr[i]);
    }
    
    System.out.println("——————————————————非递归实现————————————————");
    String[] strArr2 = GrayCode2(4);
    for(int i = 0 ; i < strArr2.length ; i++)
    {
        System.out.println(strArr2[i]);
    }
    }

 

4、结果：

————————————————————递归实现————————————————
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
1100
1101
1111
1110
1010
1011
1001
1000
——————————————————非递归实现————————————————
0000
0001
0011
0010
0110
0111
0101
0100
1100
1101
1111
1110
1010
1011
1001
1000

　　致谢：感谢您的耐心阅读！