1010. [HNOI2008]玩具装箱TOY斜率优化DP

Posted 2020-10-29 Refun

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

这个题唯一麻烦的就是化式子……DP式子还是很简单的
fi=min [ fj+(si-sj+i-j-1-L)^2 ]
一开始就是因为不会化解式子……但这里有个很巧妙的方法
把i和i放到一起，j和j放到一起
设pi=si+i,pj=sj+j,L‘=L+1
式子化出来就是
fi=min [ -2pipj+pj^2+fj+2pjL‘ ]+pi^2-2piL‘+L‘^2
设x为pi,k为-2pj,b为pj^2+fj+2pjL‘，斜率优化即可

 

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define LL long long
#define N (50000+100)
using namespace std;

LL p[N],s[N],n,L,x;
LL q[N*2],head,tail,f[N];

LL K(LL j) { return -2*p[j]; }
LL B(LL j) { return p[j]*p[j]+f[j]+2*p[j]*(L+1); }
LL Y(LL i,LL j) { return K(j)*p[i]+B(j); }

bool cover(LL x1,LL x2,LL x3)
{
	LL w1=(B(x3)-B(x1))*(K(x1)-K(x2));
	LL w2=(B(x2)-B(x1))*(K(x1)-K(x3));
	return w1>=w2;
}

int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&L);
	for (LL i=1;i<=n;++i)
		scanf("%lld",&x),s[i]=s[i-1]+x,p[i]=s[i]+i;
	LL head=1,tail=1;
	for (LL i=1;i<=n;++i)
	{
		while (head<tail && Y(i,q[head])>=Y(i,q[head+1])) head++;
		f[i]=Y(i,q[head]) + p[i]*p[i] - 2*p[i]*(L+1) + (L+1)*(L+1);
		while (head<tail && cover(i,q[tail],q[tail-1])) tail--;
		q[++tail]=i;
	}
	printf("%lld",f[n]);
}