BZOJ 1010: [HNOI2008]玩具装箱toy 斜率优化DP

Posted 2020-07-28 Meek

1010: [HNOI2008]玩具装箱toy

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

题解：

　　斜率优化DP，

 　　设定dp[i]

　　dp[i] = min{dp[j] + (i-j-1+s[i]-s[j]-l)^2} j<i;

　　观察式子 另p[i] = s[i]+i; L=l+1;

　　那么整理得到　　dp[i] = min{dp[j] + (p[i]-p[j]-L)^2} ;

　　这里单调性就不证明了

　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;
const int N = 5e4+20,inf = 2e9, mod = 1e9+7;
typedef long long ll;

ll n,l,r,q[N];
ll dp[N],p[N],L,c[N];
ll sqr(ll x) {return x*x;}
double getsum(int j,int k)
{
    return (double)(dp[j]-dp[k]+sqr(p[j])-sqr(p[k])+2*L*(p[j]-p[k]))/(double)(2.0*(p[j]-p[k])) ;
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&n,&l);
    L = l+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld",&c[i]);
        p[i]=p[i-1]+c[i]+1;
    }
    l=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r&&getsum(q[l+1],q[l])<p[i]) l++;
        int now=q[l];
        dp[i] = dp[now] + sqr(p[i]-p[now]-L);
        while(l<r&&getsum(i,q[r])<getsum(q[r],q[r-1])) r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld\n",dp[n]);
    return 0;
}