浅析Nim游戏和ICG博弈

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了浅析Nim游戏和ICG博弈相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

首先我们看例题:P2197 nim游戏

题目描述

甲,乙两个人玩Nim取石子游戏。

nim游戏的规则是这样的:地上有n堆石子(每堆石子数量小于10000),每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉,可以取完,不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手,且告诉你这n堆石子的数量,他想知道是否存在先手必胜的策略。

输入输出格式

输入格式:

第一行一个整数T<=10,表示有T组数据

接下来每两行是一组数据,第一行一个整数n,表示有n堆石子,n<=10000;

第二行有n个数,表示每一堆石子的数量

输出格式:

共T行,如果对于这组数据存在先手必胜策略则输出"Yes",否则输出"No",不包含引号,每个单词一行。

输入输出样例

输入样例#1: 
2
2
1 1
2
1 0
输出样例#1: 
No
Yes

 

 

 讲解:

本题就是最最经典的nim游戏了。nim游戏过程中面临的状态叫做局面,第一个行动的为先手,第二个行动的为后手。考虑两人无比聪明,则必败局面仅当该局面所能到达的局面均为必败局面时出现,而必胜局面仅当后续局面存在至少1个必胜局面时出现,显然nim游戏中1为必胜局面(因为拿走1就赢了)。显然,nim游戏是不存在平局的,只有先手必赢或先手必输两种情况。

 

定理:设各堆为a1、a2…an,则nim游戏先手必赢仅当a1 Xor a2 Xor…Xor an≠0.

证明:

  首先,当石子均被取完时,则a数组都为0,存在a1 Xor a2 Xor…Xor an=0,因为每次取都会使石子数减少,当前局面若a1 Xor a2 Xor…Xor an≠0,我们只要保证能在取走一些石子后使得a1 Xor a2 Xor…Xor an=0,则必然保证自己能取走最后一个石子获得胜利。

  等价于证明:

  (1)当a1 Xor a2 Xor…Xor an0时,存在某种取法使得剩下的石子xor和为0。

  (2)当a1 Xor a2 Xor…Xor an=0时,不存在取法使得剩下的石子xor和为0。(即取走一些石子后必定Xor和不为0)

  首先证明(1),对于任何一个局面a1 Xor a2 Xor…Xor an=x≠0,设x的二进制最高位的1在第k位,则至少存在一堆石子ai的二进制第k位是1(因为我们是Xor运算,某一位上的1不会凭空出现)且ai≥x。由Xor运算法则知:x Xor ai<ai,(因为至少会使第k为上的1变为0)。于是我们从ai这堆里取走一些石子,使得ai堆剩下的石子数变为ai Xor x,此时再对剩下的各堆进行上述运算:a1 Xor a2 Xor…ai Xor x…Xor an=x Xor x=0,此时Xor和为0。 于是得证(1)。

  再来证明(2),对于任何一个局面a1 Xor a2 Xor…Xor ai Xor…an=0,我们反证:假设取走ai堆中的一些石子使ai变为了x,使得a1 Xor a2 Xor…Xor x Xor…an≠0,则显然是不可能的,因为开始Xor和就为0再由Xor运算的性质当ai变为x后若Xor和为0,当且仅当ai=x时成立。而nim游戏中不能不取,所以若当前局面Xor和为0,则必然会使下一局面Xor和不为0。于是(2)得证。

 

 

结论:nim游戏只要满足先手的Xor和不为0,则先手必赢,否则先手必输。

 

代码:

 1 // luogu-judger-enable-o2
 2 #include<bits/stdc++.h>
 3 #define il inline
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 il ll gi()
 7 {
 8     ll a=0;char x=getchar();bool f=0;
 9     while((x<0||x>9)&&x!=-)x=getchar();
10     if(x==-)x=getchar(),f=1;
11     while(x>=0&&x<=9)a=a*10+x-48,x=getchar();
12     return f?-a:a;
13 }
14 ll t,n,a[100005];
15 int main()
16 {
17     t=gi();
18     while(t--){
19         n=gi();ll x=0;
20         for(int i=1;i<=n;i++)a[i]=gi(),x^=a[i];
21         if(x)puts("Yes");
22         else puts("No");
23     }
24     return 0;
25 }

 

以上是关于浅析Nim游戏和ICG博弈的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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博弈论---SG和NIM的关系

最优博弈:Nim游戏,SG函数

简单博弈论

《博弈论全家桶》(ACM / OI)(超全的博弈论 / 组合游戏大合集)

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