博弈论---SG和NIM的关系

Posted 2020-11-26 cherrypill

感觉博弈论ACM还蛮经常靠，现在我只记得NIM结论似乎不太行：

博弈论就是要静下心一口气先把概念看完才懂啊（所以建议找个时间一口其总结完）

参考了https://www.cnblogs.com/Knuth/archive/2009/09/05/1561007.html

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Nim游戏属于“Impartial Combinatorial Games”（以下简称ICG）：

满足以下条件的游戏是ICG（可能不太严谨）：

1、有两名选手；

2、两名选手交替对游戏进行移动(move)，每次一步，选手可以在（一般而言）有限的合法移动集合中任选一种进行移动；

3、对于游戏的任何一种可能的局面，合法的移动集合只取决于这个局面本身，不取决于轮到哪名选手操作、以前的任何操作、骰子的点数或者其它什么因素；

4、如果轮到某名选手移动，且这个局面的合法的移动集合为空（也就是说此时无法进行移动），则这名选手负。根据这个定义，很多日常的游戏并非ICG。例如象棋就不满足条件3，因为红方只能移动红子，黑方只能移动黑子，合法的移动集合取决于轮到哪名选手操作。

就像我们玩的回合制游戏有木有

任何一个ICG游戏都 有不同的局面，而每一个局面都可以看成一个顶点，该局面到它的子局面 由有向边链接（类比一下下棋)

可以抽象为：给定一个有向无环图和一个起始顶点，两名选手交替的将这顶点沿有向边进行移动到它的子集，无法移动者判负。

显然：失败的条件就是该顶点没有子集（无法达到下一个局面）

现在定义：先手必胜局面（局面）和先手必败局面（顶点）：

1.无法进行任何移动的局面（也就是terminal position 终局）是特殊的P-position(先手必败）；2.可以移动到P-position的局面是N-position （先手必胜居局面）；3.所有移动都导致N-position的局面是P-position 。

然后为了方便表示现在就要引进一个mex(minimal excludant)运算：表示mex{....}=最小的不属于这个集合的非负整数，

比如：mex{0,1,2,4}=3、mex{2,3,5}=0、mex{}=0。

现在再定义 SG函数： 对于一个给定的有向无环图，关于图的每个顶点的Sprague-Garundy（sg）函数如下：sg(x)=mex{sg(y) | y是x的后继(子集) }。

然后这个sg函数有个性质：所有的terminal position所对应的顶点（也就是没有出边的顶点|也是先手必败局面），其sg值为0，因为它的后继集合是空集(mex{}=0)

然后对于一个sg(x)=0的顶点x，它的所有后继y都满足g(y)!=0。对于一个sg(x)!=0的顶点，必定存在一个后继y满足sg(y)=0。(即能到达先手必败局面|当前局面就是先手必胜局面)

注意：

sg=0一定是先手必败局面，但是不一定没有子集，而 terminal-position （终局）没有子集且 sg=0。

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sg函数的现实意义：

如果sg(x)=k,则可以从x到sg(i)=[0,k-1]的一个顶点y（局面）：就是一堆有n石子，可以被拿到只剩[0,n-1]个。（是不是很像NIM游戏？）

但是如果是多堆石子呢，因为任何一个ICG都可以抽象成一个有向图游戏。所以“SG函数”和“游戏的和”的概念就不是局限于有向图游戏。所以说当我们面对由n个游戏组合成的一个游戏时，只需对于每个游戏找出求它的每个局面的SG值的方法，就可以把这些SG值全部看成Nim的石子堆，然后依照找Nim的必胜策略的方法来找这个游戏的必胜策略了！

发现还是只用NIM的结论

所以我们可以定义有向图游戏的和(Sum of Graph Games)：设G1、G2、……、Gn是n个有向图游戏，定义游戏G是G1、G2、……、Gn的和(Sum)，游戏G的移动规则是：任选一个子游戏Gi并移动上面的棋子。Sprague-Grundy Theorem就是：sg(G)=sg(G1)^sg(G2)^…^sg(Gn)。也就是说，游戏的和的SG函数值是它的所有子游戏的SG函数值的异或。

注：每一个子游戏最终都只有一个sg值 如 sg(n)而这个sg值要从sg(0)，开始逆推，所以不要误以为是每个节点i的sg(i)值取xor

先说一下一般的求sg(x)函数的套路：

1. 如果是可选步数为1~m的连续整数，直接取模即可，SG(x) = x % (m+1);
2. 如果可选步数为任意步，SG(x) = x;
3. 如果可选步数为一系列不连续的数，用模板计算（dp|dfs）。

例：有T堆石子，每次可以从第1堆石子里取1颗、2颗或3颗，可以从第2堆石子里取奇数颗，可以从第3堆及以后石子里取任意颗……假设第一堆有n个石子，第二堆有m个，其余的有a[1]~a[T-2]个石子，我们可以把它看作3个子游戏，第1个子游戏只有一堆石子，每次可以取1、2、3颗，可以得出sg1[n]值是n%4。第2个子游戏也是只有一堆石子，每次可以取奇数颗，经过简单的画图可以知道这个游戏的sg2[m]值是x%2。第3个游戏有T-2堆石子，就是一个Nim游戏即sg3=sg[a[i]]^sg[a[2]]...。对于原游戏的每个局面，把三个子游戏的SG值异或一下就得到了整个游戏的SG值，SG=sg1[n]^sg2[m]^sg3 然后就可以根据这个 SG值 （即sg[SG]？）判断是否有必胜策略以及做出决策了。

下面贴一下可以取不连续的数的模板：

例1：这题似乎境内交不了？？！！还是贴一下代码吧

https://www.luogu.com.cn/problem/UVA1559

题目大意：若输入n=0代表结束，否则输入n(n<10)，s(<2^13)，n代表有n*2个人，s代表一共有s个石子 ,然后有n*2个数a1，a2....代表第i个人最多能拿的石子数，你拥有奇数的队员（1，3，5...），每次按顺序来取，不断循环，最后谁的组员把石堆拿走最后一个石子谁输（sg[1]=0,sg[0]=1)，若这组数据你能能赢输出1，否则输出0。

因为s很大所以将化为二进制，每个二进制的数代表一个游戏，这样最多有13个游戏（感觉直接2^13也可以？）记得用记忆化搜索

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=20,M=(2<<13)+1431;
int n,S,x,sg[N*2][M],a[2*N];//这里的sg实际上是表示输赢0|1 
int dfs(int x,int sum)
{
    if(sum==1)
    {
        sg[x][1]=0;
        return 0;
    }
    if(sum<=0)
    {
        sg[x][sum]=1;
        return sg[x][sum];
    }
    if(sg[x][sum]!=-1)
        return sg[x][sum];
    
    sg[x][sum]=0;    //预先假定现在是先手必输局面记 
    for(int i=1;i<=a[x];i++)
    {
        if(dfs((x+1)%2*n,sum-i)==0)//如果下一步必输 则现在是先手必赢局面与假设不成立 
        {
            sg[x][sum]=1; 
                 //因为要把所有状态全部枚举完，所以不能中途return 
        //中途return 会输出 你输入的最末尾的数字 不知为什么 
        }                     
    }
    return sg[x][sum];
}
int main()
{
    while(1)
    {
        memset(sg,-1,sizeof(sg));
        scanf("%d",&n);
        if(n==0)
            break;
        scanf("%d",&S);
        for(int i=0;i<n*2;i++)
        {
            scanf("%d",&a[i]);
        }
        printf("%d
",dfs(0,S));
    }
    return 0;
} 

 

例2：

https://www.luogu.com.cn/problem/P2197

就是个模板

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
const int N=10006;
int n,ans=0,sg[N],x,T,use[N];
void get_sg(int n)//得到每一个点的sg值 
{
    memset(sg,0,sizeof(sg));//数组下标不能是负号 
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        memset(use,0,sizeof(use)); 
        for(int j=1;j<=i;j++)//这里是全部拿走 否则应该是枚举f[...]中的值 
            use[sg[i-j]]=1;    //枚举i子集，并加入集合 
        for(int j=0;j<=n;j++)//找出i这一点的sg值 
        {
            if(use[j]==0)
            {
                sg[i]=j;     
                break;
            }
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d",&T);
    get_sg(N-5);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        ans=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            ans=ans^sg[x];
        }
        if(ans>0) //xor的结果不一定是1除非是上题那种直接判断当前sg是P|N局面才是0|1
            printf("Yes
");
        else
            printf("No
");
    }
    return 0;
} 

 

上上题那种直接判断当前sg是P|N局面最后发现结果并不对，意思是sg值和输赢0|1各自的xor并不同 也就是说直接判断输赢只能用于一个游戏中？