简单博弈论

Posted 2021-10-13 是饿梦啊

公平组合游戏ICG：

若一个游戏满足：

1. 由两名玩家交替行动；

2. 在游戏进程的任意时刻，可以执行的合法行动与轮到哪名玩家无关；

3. 不能行动的玩家判负；

则称该游戏为一个公平组合游戏。

NIM博弈属于公平组合游戏，但城建的棋类游戏，比如围棋，就不是公平组合游戏。因为

棋交战双方分别只能落黑子和白子，胜负判定也比较复杂，不满足条件2和条件3。

 我们来看看什么是nim游戏。

NIM游戏

给定N堆物品，第i堆物品有Ai个。两名玩家轮流行动，每次可以任选一堆，取走任意多个

物品，可把一堆取光，但不能不取。取走最后一件物品者获胜。两人都采取最优策略，问先

是否必胜。

我们把这种游戏称为NIM博弈。把游戏过程中面临的状态称为局面。整局游戏第一个行动的

称为先手，第二个行动的称为后手。若在某一局面下无论采取何种行动，就会输掉游戏，称该局面必败。 

所谓采取最优策略是指，若在某一局面下存在某种行动，使得行动后对面面临必败局面，则

优先采取该行动。同时，这样的局面被称为必胜。我们讨论的博弈问题一般都只考虑理想情

况，即两人均无失误，都采取最优策略行动时游戏的结果。

NIM博弈不存在平局，只有先手必胜和先手必败两种情况。

定理： NIM博弈先手必胜，当且仅当 A1 ^ A2 ^ ... ^ An != 0

先手必胜态：可以走到某一个必败状态。

先手必败态：走不到任何一个必败状态。

我们来看一下这个nim游戏：

现在有两堆石子，一堆有3个 、一堆有5个。

先手只需要从最大的一堆中拿走两堆差的个数，后手不管拿多少，先手只需在另一堆中拿走镜像的个数，后手必败。

我们来看一下定理内容：

(1) 所有堆上的石子异或值为零 ： 0 ^ 0 ^.......^ 0  = 0；（所有二进制位上 0 / 1 的个数为偶数)

(2) 所有堆上的石子异或值不为零: a1 ^ a2 ^ a3 ^ ......^an != 0

我们只需拿走若干的石子，使得所有堆上的石子异或值为零即可。

 那我们需要拿走多少呢：

假设 a1 ^ a2 ^ a3 ^ ai ^  ..... an = x;

x 的最高位的一个1 是 第 k 位 ,则a1 .... an中一定存在且至少一个ai 的的第 k 位 是 1；

那我们只需拿走 ai - (ai ^ x)

那ai 堆上的石子数量变成了 ai - (ai - (ai ^ x)) = ai ^ x;

则 a1 ^ a2 ^ a3 ^ ..... ai^x ^ a(i+1) ^ ......an = x ^ x = 0;

则结得证。

洛谷模板题：【模板】nim 游戏 - 洛谷

加点难度：取火柴游戏 - 洛谷

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N = 100010;
int n;

int main()
{
	cin>>n;
	while(n--)
	{
		int t;
		int res = 0;
		cin>>t;
		while(t--)
		{
			int x;
			cin>>x;
			res ^= x;
		}
		if(res)puts("Yes");
		else puts("No");
	}
	return 0;
}