最优博弈：Nim游戏，SG函数

Posted 2021-09-15 一只特立独行的猫

公平组合游戏ICG

（1）有两个玩家，游戏规则对两个玩家公平
（2）游戏状态有限，能走的步数也是有限的
（3）轮流走，当一个玩家不能走时游戏结束
（4）游戏的局势不能区分玩家的身份，例如黑白棋就是不行的

特征：
给定初始局势，指定先手玩家，如果双方都采取最优策略，那么获胜者已经确定了，也就是说ICG问题存在必胜策略。
常见ICG裸题：
巴什游戏
尼姆游戏
图游戏和SG函数
威佐夫游戏

Nim游戏：

有n堆石子，第i堆石子的数量是$a_i$, Alice和Bob可以从任意一堆石子中拿走任意石子。Alice先拿，双方都走最优策略，谁最终会胜利？
结论：
$a_1$ ^ $a_2$ ^ $...$ ^ $a_n$ == 0 $-->$ 先手必败
$a_1$ ^ $a_2$ ^ $...$ ^ $a_n$ != 0 $-->$ 先手必胜
证明：
首先，0^0^…^0=0，为先手必败。
情况1：$a_1$ ^ $a_2$ ^ $...$ ^ $a_n$ == 0
情况2：$a_1$ ^ $a_2$ ^ $...$ ^ $a_n$ == x(x!=0)
情况1在任意一个$a_i$改变后，必然会转移到情况2。、
情况2一定可以转移到情况1：
对于x的最高位的1，一定在$a_i$中找到一个在同样的位为1数$a_k$。并且由于$a_k$ 和x的最高位都是1，所以$a_k$ ^ x < $a_k$。于是可以拿走$(a_k-a_k$ ^x)个石子，使得$a_k$变成$a_k$^x。
$a_1$ ^ $a_2$ ^ $...$ ^ $a_n$ ^x=x^x=0
所以一定可以由条件2转移到条件1。
结论
由于条件1在经过任意操作后都会变成条件2，条件2在经过一定变换一定能变成条件1。依次操作后，首先到条件2的玩家一定获得胜利。所以直接判断初始条件即可。
acwing题库：Nim游戏

#include<iostream>

using namespace std;

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    int sum=0;
    while(n--){
        int k;
        cin>>k;
        sum^=k;
    }
    if(sum)puts("Yes");
    else puts("No");
    return 0;
}

SG函数

Nim游戏博弈给出了Nim游戏的一般解法。但是题目技巧性太强，约束条件较少，不适合进行一般解的推广。所以通过SG函数来进行博弈游戏一般性的推广。
定义运算：
sex(x):返回不属于集合x的最小正整数。
SG(x)={ sex($y_1$) , sex($y_2$) , …，sex($y_n$) }
y是x在经过一次操作后可以转移到的状态。
结论：
$SG(a_1)$ ^ $SG(a_2)$ ^ $...$ ^ $SG(a_n)$ == 0 $-->$ 先手必败
$SG(a_1)$ ^ $SG(a_2)$ ^ $...$ ^ $SG(a_n)$ != 0 $-->$ 先手必胜
证明同Nim函数。
acwing题库：集合-Nim游戏

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<set>

using namespace std;

const int N = 105,M = 10005;

int k,s[N],n,f[M];

int sg(int x){
    if(f[x]!=-1)return f[x];//记忆递归减少运算
    set<int > se;
    for(int i=0;i<k;i++){
        if(s[i]<=x){
            se.insert(sg(x-s[i]));
        }
    }
    for(int i=0;;i++){//相当于sex函数
        if(se.count(i)==0){
            return f[x]=i;
        }
    }
}

int main(){
    memset(f,-1,sizeof f);
    cin>>k;
    for(int i=0;i<k;i++){
        cin>>s[i];
    }
    int res=0;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++){
        int h;
        cin>>h;
        res^=sg(h);
    }
    if(res==0) puts("No");
    else puts("Yes");
    return 0;
}