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Posted 2020-10-27 *ZJ

期望dp。

题链：

http://www.joyoi.cn/problem/tyvj-2325
题解.1：

期望dp，(平方的期望不等于期望的平方。。。)
在这个题上坑了好久，也算是对期望的理解又深了一些。
很好的题解：http://www.cnblogs.com/ezyzy/p/6475861.html

再阐述一下平方的期望是在什么情况下可以递推的：
对于一个随机变量x，我们知道其每个取值的概率，
那么我们容易由定义得出这个随机变量的期望E(x)=p1*x1+p2*x2+...,
以及这个随机变量的平方的期望E(x²)=p1*x1²+p2*x2²+...。
现在由于种种原因，假设我们需要求出在这个随机变量的每个取值都加1但是概率不变的情况下的新的平方的期望E\'(x²)=p1*(x1+1)²+p2*(x2+1)²+...,
(注意，只是权值改变，对应概率未变)
那么这个时候就可以用平方的期望的递推式子了：E\'(x²)=E(x²)+2*E(x)+1

反观这类题目的dp转移往往是分为当前状态成功与否两种情况，
而当我们确定了某种情况后，接下来就需要计算当前+后面的东西的总期望，再乘上这种情况的概率。
因为已确定了是成功还是失败，所以当前状态对期望的贡献只是在随机变量的取值上，而没有影响到其概率分布，所以才可以直接使用平方的期望的递推式子。

代码.1：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 10005
using namespace std;
double g[MAXN],f[MAXN];
int N;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>N;
	for(int i=N-1;i>=0;i--){
		f[i]=f[i+1]+1.0*N/(N-i);
		g[i]=1.0*i/N*(2*f[i]+1)+1.0*(N-i)/N*(g[i+1]+2*f[i+1]+1);
		g[i]=g[i]/(N-i)*N;
	}
	cout<<fixed<<setprecision(2)<<(g[0]+f[0])/2<<endl;
	return 0;
}

 

　　

 

题解.2：

 

求期望。。。
正向枚举已经收集了i个，并计算收集第i个时的相关信息与贡献，
令a[i]表示收集了i个时期望购买了a次。
那么a[i+1]=a[i]+N/(N-i) (加上收集第i+1个时期望的购买次数)
然后要求收集第i+1个时期望的花费，
首先之前已经期望购买了a次，那么我们考虑：
首先一定要先买一次，价格为a+1
如果没买到(概率为i/N),再买一次，价格为a+2
如果还没买到(概率为(i/N)²),在买一次，价格为a+3
....(子子孙孙，无穷匮也。。。)
那么可以列出期望花费的式子：令p=i/N
A=(a+1)+(a+2)*p+(a+3)*p²+(a+4)*p³+.... [1]式
然后我们要求A的值，用错位相减法的得到，即：
A*p= (a+1)*p+(a+2)*p²+(a+3)*p³+.... [2]式
[1]式-[2]式：
(1-p)*A=a+1+p+p²+p³+...，是一个无穷项的等比数列
=a+1/(1-p)
所以得到A=(a+1/(1-p))/(1-p)
然后把A加进答案ans即可，（期望的线性可加性嘛，A即表示收集第i+1个所期望的花费）

 

代码.2：

 

#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 100005
using namespace std;
double p,a,ANS;
int N;
int main(){
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin>>N;
	for(int i=0;i<N;i++){
		ANS+=(a+1.0*N/(N-i))/(1-1.0*i/N);
		a+=1.0*N/(N-i);
	}
	cout<<fixed<<setprecision(2)<<ANS<<endl;
	return 0;
}