1426: 收集邮票

Posted 2020-09-02 神犇(shenben)

1426: 收集邮票

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Description

有n种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是n种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为1/n。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第k张邮票需要支付k元钱。 现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

Input

一行,一个数字N N<=10000

Output

要付出多少钱. 保留二位小数

Sample Input

3

Sample Output

21.25

HINT

 

Source

用f[i]表示已经拥有了i张邮票，则期望还需要购买的邮票数
则f[n]=0
f[i]=f[i]*(i/n)+f[i+1]*((n-i)/n)+1
整理得f[i]=f[i+1]+n/(n-i);
设g[i]为还需要的钱
g[i]=((n-i)/n)*(g[i+1]+f[i+1])+(i/n)*(g[i]+f[i])+1
因为可以视为这张票是1元买的，而后面的每张票都贵了1元
所以要加上f[i+1]或f[i]
然后化简得g[i]=g[i+1]+f[i+1]+i/(n-i)*f[i]+(n/(n-i))

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　摘自hzwer

#include<cstdio>
using namespace std;
typedef double real;
#define af ((real)n/(real)(n-i))
const int N=1e5+5;
real f[N],g[N];
int main(){
    int n;scanf("%d",&n);
    f[n]=g[n]=0.0;
    for(int i=n-1;~i;i--) f[i]=f[i+1]+af;
    for(int i=n-1;~i;i--) g[i]=g[i+1]+f[i+1]+f[i]*i/(n-i)+af;
    printf("%.2lf",g[0]);
    return 0;
}