[bzoj2004] [洛谷P3204] [Hnoi2010] Bus 公交线路

Posted 2020-10-27 秋千旁的蜂蝶~

Description

小Z所在的城市有N个公交车站，排列在一条长(N-1)km的直线上，从左到右依次编号为1到N，相邻公交车站间的距
离均为1km。 作为公交车线路的规划者，小Z调查了市民的需求，决定按下述规则设计线路：
1.设共K辆公交车，则1到K号站作为始发站，N-K+1到N号台作为终点站。
2.每个车站必须被一辆且仅一辆公交车经过（始发站和
终点站也算被经过）。
3.公交车只能从编号较小的站台驶往编号较大的站台。
4.一辆公交车经过的相邻两个
站台间距离不得超过Pkm。 在最终设计线路之前，小Z想知道有多少种满足要求的方案。由于答案可能很大，你只
需求出答案对30031取模的结果。

Input

仅一行包含三个正整数N K P，分别表示公交车站数，公交车数，相邻站台的距离限制。
N<=10^9，1<P<=10，K<N，1<K<=P

Output

仅包含一个整数，表示满足要求的方案数对30031取模的结果。

Sample Input

样例一：10 3 3

样例二：5 2 3

样例三：10 2 4

Sample Output

1

3

81

HINT

【样例说明】

样例一的可行方案如下： (1,4,7,10)，(2,5,8)，(3,6,9)

样例二的可行方案如下： (1,3,5)，(2,4) (1,3,4)，(2,5) (1,4)，(2,3,5)

P<=10 , K <=8

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想法

emm这个题还是有难度的。
我想到的第一版dp为
\(f[i][st‘]+=f[i-1][st]\)
f[i][st]中的st为八进制p位数，表示哪些公交车经过 (i-p+1) 到 i 这连续p个站台
由于公交车相邻两者站台间距离不超过p，所以st中应出现所有公交车。
转移时注意st‘与st必须满足st的后p-1位与st‘的前p-1位相同。

这样是正确的。但显然时间空间都承受不了。

考虑原先的dp有哪些东西是不必要的。
注意到我们转移的时候，从st到st‘，并没有用到经过某一站台的公交车编号是多少，只关心st与st‘是否合法（即是否出现所有公交车）以及是否可以成功转移。
那么把st变为一个二进制p位数，其中某x位上的1代表有一个公交车在这p个站台中最后经过的站台为x
只要st中有k个1，且最后一位为1便是合法的。
从st到st‘，只要st的后p-1位与st‘的前p-1位至多有一位不同便可以成功转移。

但这样状态为\(2^p\)，仍有点多。

不过可以发现满足条件的st必须有k个1且最后一位为1，这样状态数就减为了 \(C_{p-1}^{k-1}\)，最多也就二百多。
之后就可以矩阵快速幂了。

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代码

细节还是有的，二进制位运算的地方要注意一些。

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
 
#define P 30031
 
using namespace std;
 
const int SZ=260;
 
int tot;
struct matrix{
    int a[SZ][SZ];
    matrix() { memset(a,0,sizeof(a)); }
    void init() { for(int i=0;i<tot;i++) a[i][i]=1; }
    matrix operator * (const matrix &b) const{
        matrix c;
        for(int i=0;i<tot;i++)
            for(int j=0;j<tot;j++)
                for(int k=0;k<tot;k++)
                    (c.a[i][j]+=a[i][k]*b.a[k][j])%=P;
        return c;
    }
    matrix operator *= (const matrix &b) { return *this=*this*b; }
};
matrix Pow_mod(matrix x,int y){
    matrix ret; ret.init();
    while(y){
        if(y&1) ret*=x;
        x*=x;
        y>>=1;    
    }
    return ret;
}
 
int n,p,k;
int num[1030];
 
int cal(int x){
    int ret=0;
    while(x){
        ret+=(x&1);
        x>>=1;    
    }
    return ret;
}
void getnum(){
    for(int i=0;i<(1<<p);i++)
        if(cal(i)==k && (i&1)==1) num[tot++]=i;
}
bool check(int x,int y){
    if((y&1)==0) return false;
    int z=(x%(1<<(p-1)))^(y>>1);
    return z==(z&(-z));
}
 
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&k,&p);
    getnum();
     
    matrix a,b;
    for(int i=0;i<tot;i++)
        for(int j=0;j<tot;j++)
            if(check(num[i],num[j]))
                a.a[i][j]++;
    b.a[0][0]=1; 
    a=Pow_mod(a,n-k); /**/
    b=b*a;
     
    printf("%d\n",b.a[0][0]);
     
    return 0;   
}