图论①

Posted 2020-10-26 aidenpearce

2750: [HAOI2012]Road

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Description

C国有n座城市，城市之间通过m条单向道路连接。一条路径被称为最短路，当且仅当不存在从它的起点到终点的另外一条路径总长度比它小。两条最短路不同，当且仅当它们包含的道路序列不同。我们需要对每条道路的重要性进行评估，评估方式为计算有多少条不同的最短路经过该道路。现在，这个任务交给了你。

Input

第一行包含两个正整数n、m
接下来m行每行包含三个正整数u、v、w，表示有一条从u到v长度为w的道路

Output

输出应有m行，第i行包含一个数，代表经过第i条道路的最短路的数目对1000000007取模后的结果

Sample Input

4 4
1 2 5
2 3 5
3 4 5
1 4 8

Sample Output

2
3
2
1

简而言之，这道题就是求每个边在构建最短路用了多少次（有几个最短路包含这个边）

感觉很麻烦，既然是最短路，可以先分别以每个点为起点，求出最短路数组d[];

然后考虑怎么算一个边用了几次；

首先前提是这个变是最短路上的边

即：d[i]+val==d[v]（起点到点i的最短路加上点i到点v的路，如果等于起点到点v的最短路，则满足）

然后可以有一个a[i]数组，记录起点到点i的最短路数；

一个b[i]数组，记录每个点到其余点的最短路数；

然后怎么求这两个数组：

计算肯定有一定顺序，不然可能会重复计算，

由于与起点相连的最小边肯定是至少一条最短路上的边

原因就是 djste djksl  ....dj算法的证明（英语不好）

然后就可以用这条边连的点进行扩展，即可求出a数组

b数组求法同理，但要倒着找，应为后面节点（后面节点概念看下面）的最短路肯定比前面节点的最短路少；

所谓后面节点，就是指节点被dj算法扔进堆里的顺序；

详见代码注释；代码如下：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　少女祈祷中......

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <cstring>
 
using namespace std;
const int N=5010;
const int mod=1000000007;
 
int n,m;
int c[N],d[N];
bool vis[N];
long long ans[N],a[N],b[N];
struct data
{
    int v,nxt,val,num;
}edge[N];
int cnt,alist[N];
inline void add(int u,int v,int val,int num)
{
    edge[++cnt].v=v;edge[cnt].val=val;edge[cnt].num=num;
    edge[cnt].nxt=alist[u];alist[u]=cnt;
}
struct nod
{
    int num,val;
    friend bool operator <(nod a,nod b){return a.val>b.val;}
};
void dj(int s)
{
    priority_queue<nod> q;
    memset(vis,false,sizeof vis);memset(d,0x3f3f3f3f,sizeof d);
    nod sx; sx.num=s; sx.val=0;
    d[s]=0;q.push(sx);
    int tot=0;
    while(!q.empty())
    {
        int num=q.top().num;q.pop();
        if(vis[num]) continue;
        vis[num]=true;c[++tot]=num;　　　　　　　　//c数组记录遍历顺序，即与远点距离顺序，先记录的距离近
        int nxt=alist[num];　　　　　　　　　　　　　//num不是边的序号，是点！！！
        while(nxt)
        {
            int val=edge[nxt].val;
            int v=edge[nxt].v;
            if(d[num]+val<d[v])
            {
                d[v]=d[num]+val;
                nod xx;xx.num=v;xx.val=d[v];
                q.push(xx);
            }
            nxt=edge[nxt].nxt;
        }
    }
    memset(a,0,sizeof a);memset(b,0,sizeof b);
    for(int i=1;i<=tot;++i) b[c[i]]=1;　　　　　　　　//每个点的最短路至少有一条
    a[s]=1;　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　//把起点最短路赋为，方便后面计算，即...看后面
　　for(int i=1;i<=tot;++i)
    {
        int nxt=alist[c[i]];　　　　　　　　　　　　　　//从离起点最近的点找a数组
        while(nxt)
        {
            int val=edge[nxt].val;
            int v=edge[nxt].v;
            if(d[c[i]]+val==d[v])
            {
                a[v]+=a[c[i]];　　　　　　　　　　　　//应为从起点扩展，起点到的满足条件（d[c[i]]+val==d[v]）的边，为从他那扩展来的边的数目加他自己的数目...（感觉没解释清）
                a[v]%=mod;
            }
            nxt=edge[nxt].nxt;
        }
    }
    for(int i=tot;i;--i)　　　　　　　　　　　　　　　　//b数组同理反向
    {
        int nxt=alist[c[i]];
        while(nxt)
        {
            int val=edge[nxt].val;
            int v=edge[nxt].v;
            if(d[c[i]]+val==d[v])
            {
                b[c[i]]+=b[v];
                b[c[i]]%=mod;
            }
            nxt=edge[nxt].nxt;
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)　　　　　　　　　　//组合问题....
    {
        int nxt=alist[i];
        while(nxt)
        {
            int val=edge[nxt].val;
            int v=edge[nxt].v;
            if(d[i]+val==d[v])
            {
                ans[edge[nxt].num]+=a[i]*b[v];
                ans[edge[nxt].num]%=mod;
            }
            nxt=edge[nxt].nxt;
        }
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=m;++i)　　　　　　　　　　//i为每条边的编号
    {
        int u,v,val;
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&val);
        add(u,v,val,i);
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)　　　　　　　　　　//对每个节点跑最短路
    {
        dj(i);
    }
    for(int i=1;i<=m;++i)
    {
        printf("%lld\n",ans[i]);　　　　　　
    }
}

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