图论：平面图和图的着色

Posted 2021-07-19 临风而眠

图论(4):平面图和图的着色

文章目录

• 图论(4):平面图和图的着色
• • 一.平面图及欧拉公式
  • • 1.平面图定义
    • 2.内外部面
    • 3.定理（欧拉公式）
    • • 推论
    • 4.最大可平面图
    • • ①定义
      • ②性质
      • • 推论
        • 推论
        • 推论
        • 推论
        • 推论
  • 二.非平面哈密顿图
  • • 1.平面哈密顿图
  • 三.库拉托斯基定理、对偶图
  • • 1.图的细分的定义
    • 2.图同胚的定义
    • 3.库拉托斯基定理（可平面图充要条件）
    • 4.图G的初等收缩的定义
    • • • 定理
  • 四.图的顶点着色
  • • 1.定义（顶点着色）
    • • 相关术语
    • 2.定义（图的色数）
    • • 常见色数
      • 定理（双色）
      • 定理（色数与最大顶点度）
      • 定理：每个平面图都是6-可着色的
      • 定理：每个平面图都是5-可着色的
      • 定理：每个平面图都是4-可着色的

一.平面图及欧拉公式

1.平面图定义

​ 图G称为被嵌入平(曲)面S内, 如果G的图解已画在平面S上, , 而且任何两条边均不相交( 除顶点外 ), 已嵌入平面的图称为平面图

​ 如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的

2.内外部面

​ 平面图G把平面分成了若干个区域，这些区域都是单连通（单连通区域是指能够收缩到一个点的区域），称之为G的面。

​ 其中无界的连通区域称为G的外部面，其余单连通区域称为G的内部面。

​ 平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连通区域。

​ 没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。

3.定理（欧拉公式）

​ 如果一个平面连通图有p个顶点、q条边、f 个面，则：p-q+f=2

推论

​ 若平面连通图G有p个顶点q条边且每个面都是由长为n的圈围成的，则$q=\frac{n(p-2)}{(n-2)}$

4.最大可平面图

①定义

​ 一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再加入一条边，新图必然是不可平面的。
​ （即加了新边就是不可平面图）

②性质

​ 最大(极大) 可平面图每个面都是三角形

推论

​ 设G是一个有p个顶点q条边的最大可平面图, 则G的每个面都是三角形，q=3p-6,p≥3

推论

​ 设G是一个(p,q)可平面连通图,而且G的每个面都是一个长为4的圈围成的，则：q=2p-4

推论

​ 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图，p ≥ 3, 则q≤ 3p-6

​ 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图，p ≥3且没有三角形，则q ≤ 2p-4

推论

$K_5$与$K_{3,3}$都不是可平面图

推论

​ 每个平面图G中顶点度的最小值不超过 5,即$\delta (G)\le 5$

二.非平面哈密顿图

1.平面哈密顿图

​ 设G=(V,E)是一个(p,q)平面哈密顿图(又是平面图又是哈密顿图),C是G的哈密顿圈.令$f_i$为C的内部由i条边围成的面的个数，$g_i$为C的外部i条边围成的面的个数，则：

（1）$1\times f_3+2\times f_4+3\times f_5+...+(p-2)\times f_p=\sum _{i=3}^p(i-2)f_i=p-2$
（2）$1\times g_3+2\times g_4+3\times g_5+...+(p-2)\times g_p=\sum _{i=3}^p(i-2)g_i=p-2$

（3）$1\times (f_3-g_3)+2\times (f_4-g_4)+3\times (f_5-g_5)+...+=0$

如果不满足这个条件就不是平面哈密顿图,也就是非哈密顿平面图.

三.库拉托斯基定理、对偶图

1.图的细分的定义

​ 设 x=uv是图G=(V,E)的一条边,又w不是G的顶点,则当用边uw和wv代替边x时, 就称x被细分,如果G的某些边被细分,产生的图为G 的细分图

2.图同胚的定义

​ 两个图称为同胚的，如果它们都可以从同一个图通过一系列的边细分得到

3.库拉托斯基定理（可平面图充要条件）

​ 一个图是可平面的充分必要条件是它没有同胚于$K_5$和$K_{3,3}$的子图。

4.图G的初等收缩的定义

​ 图G的一个初等收缩是合并两个邻接的顶点u和 v, 合并办法是从G中去掉u和 v, 然后再加上一个新顶点 w, 使得w邻接于所有邻接于u或v 的顶点。

​ （用一个新的点w代替两个邻接的顶点uv）

​ 一个图G可收缩到图H, 如果H可以从G经一系列的初等收缩得到。

定理

​ 一个图是可平面的当且仅当它没有一个可以收缩到$K_5$或$K_{3,3}$的子图。

四.图的顶点着色

1.定义（顶点着色）

​ 图的一种(顶点) 着色是指对图的每个顶点指定一种颜色,使得没有两个邻接的顶点有同一颜色。

​ 图的一种顶点着色是对图的顶点的一种分组，着同一颜色的为一组，要求顶点间有边的不能分在一组。

相关术语

• 图G 的一个n着色是用n种颜色对G的顶点着色
• 若图 G=(V,E) 的顶点已着色，则着同一颜色的那些顶点之集称为G的一个色组
• 同一色组内的各顶点不邻接，这样的顶点集合称为G的一个顶点独立集
• 如果G有一个n着色,则G的顶点集V被这种n着色划分为n个色组

2.定义（图的色数）

​ 图G的色数是**使G为n—着色的数的最小值,图G的色数记为$\chi (G),\chi (G)\le n,$则称G是n—可着色的,若$\chi (G)=n$， 则称G是n 色的

常见色数

• 若G是偶数个顶点的圈$C_{2n}$, 则$\chi (C_{2n})=2$
• 若G是奇数个顶点的圈$C_{2n+1}$, 则$\chi (C_{2n+1})=3$
• $\chi (K_p)=p$
• $\chi (K_p^c)=1$
• $\chi (K_{m,n})=2$

定理（双色）

​ 一个图是可双色的当且仅当它没有奇数长的圈

​ 一个图是可双色的当且仅当是偶图（偶图的充分必要条件是它的圈的长度都是偶数）

定理（色数与最大顶点度）

​ 设$\Delta =\Delta (G)$为图G的顶点度的最大值, 则G 是$(\Delta +1)$— 可着色的

定理：每个平面图都是6-可着色的

定理：每个平面图都是5-可着色的

定理：每个平面图都是4-可着色的