bzoj 3576[Hnoi2014]江南乐 sg函数+分块预处理

Posted 2020-10-25 Kaiser

3576: [Hnoi2014]江南乐

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Description

 小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后，小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。    游戏的规则是这样的，首先给定一个数F，然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子，小A和他的对手轮流操作。每次操作时，操作者先选定一个不小于2的正整数M (M是操作者自行选定的，而且每次操作时可不一样)，然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆，并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1（即分的尽量平均，事实上按照这样的分石子万法，选定M和一堆石子后，它分出来的状态是固定的）。当一个玩家不能操作的时候，也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时，他就输掉。(补充：先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后，此时共有N+M-1)堆石子，接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子，依此类推。
    小A从小就是个有风度的男生，他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道，面对给定的一组游戏，而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话，究竟谁能够获得胜利？

Input

    输入第一行包含两个正整数T和F，分别表示游戏组数与给定的数。
    接下来T行，每行第一个数N表示该组游戏初始状态下有多少堆石子。之后N个正整数，表示这N堆石子分别有多少个。

Output

    输出一行，包含T个用空格隔开的0或1的数，其中0代表此时小A（后手）会胜利，而1代表小A的对手（先手）会胜利。

Sample Input

4 3
1 1
1 2
1 3
1 5

Sample Output

0 0 1 1

HINT

  对于100%的数据，T<100，N<100，F<100000，每堆石子数量<100000。

  以上所有数均为正整数。

Source

 首先每一堆石子是单独的是绝对可以肯定的，

所以预处理好所有的石子个数，

桌面处理，就是直接暴力枚举怎么分，这样的话是O(n^2)

然后我们发现。比如将100分成40堆，41堆，这类都是2或者3，而且这样的话也就是许多分成

的种类是相同的，那么这样总共就√n种不同的值，

但是每种的奇偶性是比较关键的，

100分成40堆，2的话20堆，3的话20堆,

100分成41堆，2的话23堆，3的话18堆，

100分成42堆，2的话26堆，3的话16堆。

发现什么

我们代数来证明，当n为奇数，一定是一部分奇数，一部分偶数

因为分成的两种的话一定是奇偶性不同的，所以只有两者情况

分相差1堆时正好反应。

当n为偶数也是一样的。

所以只需n分成x与x+1两部分时，我们只需要做相邻两者即可，如100只需要做40和41两者，就可以了，

100/34=2 然后调到100/2 +1去，这样预处理复杂度是n√n

 

后面用sg定理就可以了。

 1 #pragma GCC optimize(2)
 2 #pragma G++ optimize(2)
 3 #include<iostream>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 #include<cstdio>
 7 #include<cstring>
 8 
 9 #define N 100007
10 using namespace std;
11 inline int read()
12 {
13     int x=0,f=1;char ch=getchar();
14     while(!isdigit(ch)){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
15     while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
16     return x*f;
17 }
18 
19 int T,F,Tim;
20 int a[N],sg[N];
21 int boo[N];
22 
23 void prepare()
24 {
25     for(int x=F;x<=100000;x++)
26     {
27         Tim++;int small,num,ys,now,nxt;
28         for (int i=2;i<=x;i=nxt+1)//x与x+1是一样的
29         {
30             small=x/i,ys=x%i;
31             num=i-ys,now=0;
32             if(num&1)now^=sg[small];
33             if(ys&1)now^=sg[small+1];
34             boo[now]=Tim;
35             nxt=min(x/small,x);
36             if(i+1<=nxt)
37             {
38                 now=0,ys=x%(i+1);
39                 num=(i+1)-ys;
40                 if(num&1)now^=sg[small];
41                 if(ys&1)now^=sg[small+1];
42                 boo[now]=Tim;
43             }
44         } 
45         int mex=0;
46         while(boo[mex]==Tim)mex++;
47         sg[x]=mex;
48     }
49 }
50 int main()
51 {
52     memset(sg,0,sizeof(sg));
53     T=read(),F=read();
54     prepare();
55     while(T--)
56     {
57         int n=read(),ans=0,x;
58         for(int i=1;i<=n;i++)
59             x=read(),ans^=sg[x];
60         if(ans)printf("%d",1);
61         else printf("%d",0);
62         if(T)printf(" ");
63     }
64 }