bzoj 3576: [Hnoi2014]江南乐

Posted 2020-11-01 Boss.Pi

Description

小A是一个名副其实的狂热的回合制游戏玩家。在获得了许多回合制游戏的世界级奖项之后，小A有一天突然想起了他小时候在江南玩过的一个回合制游戏。 游戏的规则是这样的，首先给定一个数F，然后游戏系统会产生T组游戏。每一组游戏包含N堆石子，小A和他的对手轮流操作。每次操作时，操作者先选定一个不小于2的正整数M (M是操作者自行选定的，而且每次操作时可不一样)，然后将任意一堆数量不小于F的石子分成M堆，并且满足这M堆石子中石子数最多的一堆至多比石子数最少的一堆多1（即分的尽量平均，事实上按照这样的分石子万法，选定M和一堆石子后，它分出来的状态是固定的）。当一个玩家不能操作的时候，也就是当每一堆石子的数量都严格小于F时，他就输掉。(补充：先手从N堆石子中选择一堆数量不小于F的石子分成M堆后，此时共有N+M-1)堆石子，接下来小A从这N+M-1堆石子中选择一堆数量不小于F的石子，依此类推。
小A从小就是个有风度的男生，他邀请他的对手作为先手。小A现在想要知道，面对给定的一组游戏，而且他的对手也和他一样聪明绝顶的话，究竟谁能够获得胜利？

Solution

\(SG[x]=mex(SG[u])\),其中 \(u\) 是 \(x\) 的所有子状态
这题的子状态是取决于 \(m\) 的
我们枚举 \(m\) 就行了
知道了 \(m\) 之后,由于 \(max-min<=1\) 所以分法是确定的
也就是先分出 \(\lfloor\frac{i}{m}\rfloor\) ,然后再分别把 \(i\%m\) 分配给前面长度为 \(\lfloor\frac{i}{m}\rfloor\) 的,使得其变为 \(\lfloor\frac{i}{m}\rfloor+1\)
这样就可以做 \(O(n^2)\) 了

考虑优化:
我们发现,\(\lfloor\frac{i}{m}\rfloor\) 是可以数论分块的,然后就可以做 \(O(n*\sqrt{n})\) 的了
注意一个细节:
虽然 \(\lfloor\frac{i}{m}\rfloor\) 的值是一样的,但是在同一个块中,他们的 \(i\mod m\) 可以不同
但是我们只关心其奇偶性,并且在同一个块内,取模后的值是以 \(\frac{i}{m}\) 为等差数列的值
我们只需要把块 \([l,r]\) 中的 \(l+1\) 再代进去就好了

最后把所有 \(SG[a[i]]\) 异或起来,不为 \(0\) 就是先手必胜,否则先手必败

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010;
int n,SG[N],T,F,d[N];
void priwork(){
    for(int i=F,t,w;i<N;i++){
        for(int j=2,r;j<=i;j=r+1){
            r=i/(i/j);
            t=i%j;w=0;
            if((j-t)&1)w^=SG[i/j];
            if(t&1)w^=SG[i/j+1];
            d[w]=i;

            if(j<r){
                t=i%(j+1);w=0;
                if((j+1-t)&1)w^=SG[i/j];
                if(t&1)w^=SG[i/j+1];
                d[w]=i;
            }
        }
        for(int j=0;j<N;j++)
            if(d[j]!=i){SG[i]=j;break;}
    }
}
inline void work(){
    int ans=0,x;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&x),ans^=SG[x];
    printf("%d ",ans!=0);
}
int main()
{
    freopen("pp.in","r",stdin);
    freopen("pp.out","w",stdout);
    cin>>T>>F;
    priwork();
    while(T--)work();
    return 0;
}