区间dp①

Posted 2020-10-25 aidenpearce

打算一次写完，看情况吧。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　少女祈祷中...

区间dp，大概是对区间的动态规划，每个大区间的决策都是由小区间的决策转移过来。

 

然后看道例题：石子合并  noi1995

设有 N 堆沙子排成一排，其编号为 1，2，3，…，N（N<=300）。每堆
沙子有一定的数量，可以用一个整数来描述，现在要将这 N 堆沙子合
并成为一堆，每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆沙子的
数量之和，合并后与这两堆沙子相邻的沙子将和新堆相邻，合并时由
于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同，如有 4 堆沙子分别为 1 3
5 2 我们可以先合并 1、2 堆，代价为 4，得到 4 5 2 又合并 1，2 堆，
代价为 9，得到 9 2 ，再合并得到 11，总代价为 4+9+11=24，如果第
二步是先合并 2，3 堆，则代价为 7，得到 4 7，最后一次合并代价为
11，总代价为 4+7+11=22；问题是：找出一种合理的方法，使总的代
价最小。输出最小代价。

有点像huffman树，但有一个限制条件，只能合并相邻的；所以可以考虑区间dp。

f[l][r]  表示编号l..r的沙子合并为一堆的最小代价

f[1][n]  最后一次合并的位置在k；什么意思，k是一个l，r之间的任意位置；

则f[l][r]=min(f[l][k]+f[k+1][r] + sum[l][r])；   sum为l到r的代价，可预处理出来；

则可以写出代码；

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　少女祈祷中....

for(int l=2;l<=n;l++){       // 长度递增 
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int j=i+l-1;
        if(j>n) break;
        f[i][j]=inf;// inf 很大的数字 如0x3f3f3f3f
        for(int k=i;k<j;k++){
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]);
        }
    }
}

那么问题来了，如果我不是排成一排，而是环怎么办？

假如有7堆，分别是abcdefg

我们可以依次枚举

abcdefg
bcdefga
cdefgab
defgabc
efgabcd
fgabcde
gabcdef

2^n；怕是要t

所以我们有一种常用的做法，扩大2倍，如下

abcdefgabcdefg
 bcdefga
  cdefgab
   defgabc
    efgabcd
     fgabcde
      gabcdef

然后分别枚举dp[1][n],dp[2][n+1].....找出最小

for(int l=2;l<=n;l++){// 长度递增 
    for(int i=1;i<=2*n;i++){
        int j=i+l-1;
        if(j>2*n) break;
        f[i][j]=inf;// inf 很大的数字  如0x3f3f3f3f
        for(int k=i;k<j;k++){
            f[i][j]=min(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i][j]);
        }
    }
}
int mn=inf;
for(int i=1;i<=n;i++) mn=min(mn,f[i][i+n-1]);

然后一道变式题

能量项链

题目描述

在Mars星球上，每个Mars人都随身佩带着一串能量项链。在项链上有N颗能量珠。能量珠是一颗有头标记与尾标记的珠子，这些标记对应着某个正整数。并且，对于相邻的两颗珠子，前一颗珠子的尾标记一定等于后一颗珠子的头标记。因为只有这样，通过吸盘（吸盘是Mars人吸收能量的一种器官）的作用，这两颗珠子才能聚合成一颗珠子，同时释放出可以被吸盘吸收的能量。如果前一颗能量珠的头标记为m，尾标记为r，后一颗能量珠的头标记为r，尾标记为n，则聚合后释放的能量为m*r*n（Mars单位），新产生的珠子的头标记为m，尾标记为n。

需要时，Mars人就用吸盘夹住相邻的两颗珠子，通过聚合得到能量，直到项链上只剩下一颗珠子为止。显然，不同的聚合顺序得到的总能量是不同的，请你设计一个聚合顺序，使一串项链释放出的总能量最大。

例如：设N=4，4颗珠子的头标记与尾标记依次为(2，3) (3，5) (5，10) (10，2)。我们用记号⊕表示两颗珠子的聚合操作，(j⊕k)表示第j，k两颗珠子聚合后所释放的能量。则第4、1两颗珠子聚合后释放的能量为：

(4⊕1)=10*2*3=60。

这一串项链可以得到最优值的一个聚合顺序所释放的总能量为

((4⊕1)⊕2)⊕3）=10*2*3+10*3*5+10*5*10=710。

输入输出格式

输入格式：

输入的第一行是一个正整数N（4≤N≤100），表示项链上珠子的个数。第二行是N个用空格隔开的正整数，所有的数均不超过1000。第i个数为第i颗珠子的头标记（1≤i≤N），当i<N< span>时，第i颗珠子的尾标记应该等于第i+1颗珠子的头标记。第N颗珠子的尾标记应该等于第1颗珠子的头标记。

至于珠子的顺序，你可以这样确定：将项链放到桌面上，不要出现交叉，随意指定第一颗珠子，然后按顺时针方向确定其他珠子的顺序。

输出格式：

输出只有一行，是一个正整数E（E≤2.1*10^9），为一个最优聚合顺序所释放的总能量。

很明显，一个环，所以可以用上面的方法，把链*2；

然后可以想出dp方程：dp[i][j]表示合并区间[i,j]内珠子所得到的最多能量

则dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[j+1]*a[k+1];

枚举k属于[i,j);a[i]*a[j+1]*a[k+1]就是左区间第一个珠子*总区间后面的一个珠子 *右区间第一个珠子（角标不明确手动模拟）

然后代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

int n;
int a[300];int dp[300][300];
int ans2=0;
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i) a[i+n]=a[i];
    for(int l=2;l<=n;++l)
    {
        for(int i=1;i<=2*n-l+1;++i)
        {
            int j=i+l-1;
            for(int k=i;k<j;++k)
            {
                dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+a[i]*a[j+1]*a[k+1]);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        ans=max(dp[i][i+n-1],ans);
    }
    printf("%d",ans);
}

先写这么多吧