概要
本章介绍伸展树。它和"二叉查找树"和"AVL树"一样，都是特殊的二叉树。在了解了"二叉查找树"和"AVL树"之后，学习伸展树是一件相当容易的事情。和以往一样，本文会先对伸展树的理论知识进行简单介绍，然后给出C语言的实现。后序再分别给出C++和Java版本的实现；这3种实现方式的原理都一样，选择其中之一进行了解即可。若文章有错误或不足的地方，希望您能不吝指出！
目录
1. 伸展树的介绍
2. 伸展树的C实现
3. 伸展树的C测试程序
转载请注明出处：http://www.cnblogs.com/skywang12345/p/3604238.html
更多内容: 数据结构与算法系列 目录
(01) 伸展树(一)之 图文解析 和 C语言的实现
(02) 伸展树(二)之 C++的实现
(03) 伸展树(三)之 Java的实现
伸展树的介绍
伸展树(Splay Tree)是一种二叉排序树，它能在O(log n)内完成插入、查找和删除操作。它由Daniel Sleator和Robert Tarjan创造。
(01)
伸展树属于二叉查找树，即它具有和二叉查找树一样的性质：假设x为树中的任意一个结点，x节点包含关键字key，节点x的key值记为key[x]。如果y是x的左子树中的一个结点，则key[y]
<= key[x]；如果y是x的右子树的一个结点，则key[y] >= key[x]。
(02) 除了拥有二叉查找树的性质之外，伸展树还具有的一个特点是：当某个节点被访问时，伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是，下次要访问该节点时，能够迅速的访问到该节点。
假设想要对一个二叉查找树执行一系列的查找操作。为了使整个查找时间更小，被查频率高的那些条目就应当经常处于靠近树根的位置。于是想到设计一个简单方法，在每次查找之后对树进行重构，把被查找的条目搬移到离树根近一些的地方。伸展树应运而生，它是一种自调整形式的二叉查找树，它会沿着从某个节点到树根之间的路径，通过一系列的旋转把这个节点搬移到树根去。
相比于"二叉查找树"和"AVL树"，学习伸展树时需要重点关注是"伸展树的旋转算法"。
伸展树的C实现
1. 节点定义
typedef int Type;
typedef struct SplayTreeNode {
Type key; // 关键字(键值)
struct SplayTreeNode *left; // 左孩子
struct SplayTreeNode *right; // 右孩子
} Node, *SplayTree;
伸展树的节点包括的几个组成元素:
(01) key -- 是关键字，是用来对伸展树的节点进行排序的。
(02) left -- 是左孩子。
(03) right -- 是右孩子。
外部接口
// 前序遍历"伸展树"
void preorder_splaytree(SplayTree tree);
// 中序遍历"伸展树"
void inorder_splaytree(SplayTree tree);
// 后序遍历"伸展树"
void postorder_splaytree(SplayTree tree);
// (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key);
// (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key);
// 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。
Node* splaytree_minimum(SplayTree tree);
// 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。
Node* splaytree_maximum(SplayTree tree);
// 旋转key对应的节点为根节点。
Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key);
// 将结点插入到伸展树中，并返回根节点
Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key);
// 删除结点(key为节点的值)，并返回根节点
Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key);
// 销毁伸展树
void destroy_splaytree(SplayTree tree);
// 打印伸展树
void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction);
2. 旋转
旋转的代码
/*
* 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。
*
* 注意：
* (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
* 将"键值为key的节点"旋转为根节点。
* (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
* b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
* b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
* (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
* c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
* c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
*/
Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key)
{
Node N, *l, *r, *c;
if (tree == NULL)
return tree;
N.left = N.right = NULL;
l = r = &N;
for (;;)
{
if (key < tree->key)
{
if (tree->left == NULL)
break;
if (key < tree->left->key)
{
c = tree->left; /* 01, rotate right */
tree->left = c->right;
c->right = tree;
tree = c;
if (tree->left == NULL)
break;
}
r->left = tree; /* 02, link right */
r = tree;
tree = tree->left;
}
else if (key > tree->key)
{
if (tree->right == NULL)
break;
if (key > tree->right->key)
{
c = tree->right; /* 03, rotate left */
tree->right = c->left;
c->left = tree;
tree = c;
if (tree->right == NULL)
break;
}
l->right = tree; /* 04, link left */
l = tree;
tree = tree->right;
}
else
{
break;
}
}
l->right = tree->left; /* 05, assemble */
r->left = tree->right;
tree->left = N.right;
tree->right = N.left;
return tree;
}
上面的代码的作用：将"键值为key的节点"旋转为根节点，并返回根节点。它的处理情况共包括：
(a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
将"键值为key的节点"旋转为根节点。
(b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
b-1) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
b-2) "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
(c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
c-1) "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
c-2) "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
下面列举个例子分别对a进行说明。
在下面的伸展树中查找10，共包括"右旋" --> "右链接" --> "组合"这3步。
第一步： 右旋
对应代码中的"rotate right"部分
第二步： 右链接
对应代码中的"link right"部分
第三步： 组合
对应代码中的"assemble"部分
提示：如果在上面的伸展树中查找"70"，则正好与"示例1"对称，而对应的操作则分别是"rotate left", "link left"和"assemble"。
其它的情况，例如"查找15是b-1的情况，查找5是b-2的情况"等等，这些都比较简单，大家可以自己分析。
3. 插入
/*
* 将结点插入到伸展树中(不旋转)
*
* 参数说明：
* tree 伸展树的根结点
* z 插入的结点
* 返回值：
* 根节点
*/
static Node* splaytree_insert(SplayTree tree, Node *z)
{
Node *y = NULL;
Node *x = tree;
// 查找z的插入位置
while (x != NULL)
{
y = x;
if (z->key < x->key)
x = x->left;
else if (z->key > x->key)
x = x->right;
else
{
printf("不允许插入相同节点(%d)!\\n", z->key);
// 释放申请的节点，并返回tree。
free(z);
return tree;
}
}
if (y==NULL)
tree = z;
else if (z->key < y->key)
y->left = z;
else
y->right = z;
return tree;
}
/*
* 创建并返回伸展树结点。
*
* 参数说明：
* key 是键值。
* parent 是父结点。
* left 是左孩子。
* right 是右孩子。
*/
static Node* create_splaytree_node(Type key, Node *left, Node* right)
{
Node* p;
if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
return NULL;
p->key = key;
p->left = left;
p->right = right;
return p;
}
/*
* 新建结点(key)，然后将其插入到伸展树中，并将插入节点旋转为根节点
*
* 参数说明：
* tree 伸展树的根结点
* key 插入结点的键值
* 返回值：
* 根节点
*/
Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key)
{
Node *z; // 新建结点
// 如果新建结点失败，则返回。
if ((z=create_splaytree_node(key, NULL, NULL)) == NULL)
return tree;
// 插入节点
tree = splaytree_insert(tree, z);
// 将节点(key)旋转为根节点
tree = splaytree_splay(tree, key);
}
外部接口: insert_splaytree(tree, key)是提供给外部的接口，它的作用是新建节点(节点的键值为key)，并将节点插入到伸展树中；然后，将该节点旋转为根节点。
内部接口: splaytree_insert(tree, z)是内部接口，它的作用是将节点z插入到tree中。splaytree_insert(tree, z)在将z插入到tree中时，仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树，而且不允许插入相同节点。
4. 删除
删除接口
/*
* 删除结点(key为节点的键值)，并返回根节点。
*
* 参数说明：
* tree 伸展树的根结点
* z 删除的结点
* 返回值：
* 根节点(根节点是被删除节点的前驱节点)
*
*/
Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key)
{
Node *x;
if (tree == NULL)
return NULL;
// 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。
if (splaytree_search(tree, key) == NULL)
return tree;
// 将key对应的节点旋转为根节点。
tree = splaytree_splay(tree, key);
if (tree->left != NULL)
{
// 将"tree的前驱节点"旋转为根节点
x = splaytree_splay(tree->left, key);
// 移除tree节点
x->right = tree->right;
}
else
x = tree->right;
free(tree);
return x;
}
delete_splaytree(tree, key)的作用是：删除伸展树中键值为key的节点。
它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话，则直接返回。若找到的话，则将该节点旋转为根节点，然后再删除该节点。
注意：关于伸展树的"前序遍历"、"中序遍历"、"后序遍历"、"最大值"、"最小值"、"查找"、"打印"、"销毁"等接口与"二叉查找树"基本一样，这些操作在"二叉查找树"中已经介绍过了，这里就不再单独介绍了。当然，后文给出的伸展树的完整源码中，有给出这些API的实现代码。这些接口很简单，Please RTFSC(Read The Fucking Source Code)！
伸展树的C实现(完整源码)
伸展树的头文件(splay_tree.h)
1 #ifndef _SPLAY_TREE_H_
2 #define _SPLAY_TREE_H_
3
4 typedef int Type;
5
6 typedef struct SplayTreeNode {
7 Type key; // 关键字(键值)
8 struct SplayTreeNode *left; // 左孩子
9 struct SplayTreeNode *right; // 右孩子
10 } Node, *SplayTree;
11
12 // 前序遍历"伸展树"
13 void preorder_splaytree(SplayTree tree);
14 // 中序遍历"伸展树"
15 void inorder_splaytree(SplayTree tree);
16 // 后序遍历"伸展树"
17 void postorder_splaytree(SplayTree tree);
18
19 // (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
20 Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key);
21 // (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
22 Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key);
23
24 // 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。
25 Node* splaytree_minimum(SplayTree tree);
26 // 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。
27 Node* splaytree_maximum(SplayTree tree);
28
29 // 旋转key对应的节点为根节点。
30 Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key);
31
32 // 将结点插入到伸展树中，并返回根节点
33 Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key);
34
35 // 删除结点(key为节点的值)，并返回根节点
36 Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key);
37
38 // 销毁伸展树
39 void destroy_splaytree(SplayTree tree);
40
41 // 打印伸展树
42 void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction);
43
44 #endif
伸展树的实现文件(splay_tree.c)
1 /**
2 * SplayTree伸展树(C语言): C语言实现的伸展树。
3 *
4 * @author skywang
5 * @date 2014/02/03
6 */
7
8 #include <stdio.h>
9 #include <stdlib.h>
10 #include "splay_tree.h"
11
12 /*
13 * 前序遍历"伸展树"
14 */
15 void preorder_splaytree(SplayTree tree)
16 {
17 if(tree != NULL)
18 {
19 printf("%d ", tree->key);
20 preorder_splaytree(tree->left);
21 preorder_splaytree(tree->right);
22 }
23 }
24
25 /*
26 * 中序遍历"伸展树"
27 */
28 void inorder_splaytree(SplayTree tree)
29 {
30 if(tree != NULL)
31 {
32 inorder_splaytree(tree->left);
33 printf("%d ", tree->key);
34 inorder_splaytree(tree->right);
35 }
36 }
37
38 /*
39 * 后序遍历"伸展树"
40 */
41 void postorder_splaytree(SplayTree tree)
42 {
43 if(tree != NULL)
44 {
45 postorder_splaytree(tree->left);
46 postorder_splaytree(tree->right);
47 printf("%d ", tree->key);
48 }
49 }
50
51 /*
52 * (递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
53 */
54 Node* splaytree_search(SplayTree x, Type key)
55 {
56 if (x==NULL || x->key==key)
57 return x;
58
59 if (key < x->key)
60 return splaytree_search(x->left, key);
61 else
62 return splaytree_search(x->right, key);
63 }
64
65 /*
66 * (非递归实现)查找"伸展树x"中键值为key的节点
67 */
68 Node* iterative_splaytree_search(SplayTree x, Type key)
69 {
70 while ((x!=NULL) && (x->key!=key))
71 {
72 if (key < x->key)
73 x = x->left;
74 else
75 x = x->right;
76 }
77
78 return x;
79 }
80
81 /*
82 * 查找最小结点：返回tree为根结点的伸展树的最小结点。
83 */
84 Node* splaytree_minimum(SplayTree tree)
85 {
86 if (tree == NULL)
87 return NULL;
88
89 while(tree->left != NULL)
90 tree = tree->left;
91 return tree;
92 }
93
94 /*
95 * 查找最大结点：返回tree为根结点的伸展树的最大结点。
96 */
97 Node* splaytree_maximum(SplayTree tree)
98 {
99 if (tree == NULL)
100 return NULL;
101
102 while(tree->right != NULL)
103 tree = tree->right;
104 return tree;
105 }
106
107 /*
108 * 旋转key对应的节点为根节点，并返回根节点。
109 *
110 * 注意：
111 * (a)：伸展树中存在"键值为key的节点"。
112 * 将"键值为key的节点"旋转为根节点。
113 * (b)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key < tree->key。
114 * b-1 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，将"键值为key的节点"的前驱节点旋转为根节点。
115 * b-2 "键值为key的节点"的前驱节点存在的话，则意味着，key比树中任何键值都小，那么此时，将最小节点旋转为根节点。
116 * (c)：伸展树中不存在"键值为key的节点"，并且key > tree->key。
117 * c-1 "键值为key的节点"的后继节点存在的话，将"键值为key的节点"的后继节点旋转为根节点。
118 * c-2 "键值为key的节点"的后继节点不存在的话，则意味着，key比树中任何键值都大，那么此时，将最大节点旋转为根节点。
119 */
120 Node* splaytree_splay(SplayTree tree, Type key)
121 {
122 Node N, *l, *r, *c;
123
124 if (tree == NULL)
125 return tree;
126
127 N.left = N.right = NULL;
128 l = r = &N;
129
130 for (;;)
131 {
132 if (key < tree->key)
133 {
134 if (tree->left == NULL)
135 break;
136 if (key < tree->left->key)
137 {
138 c = tree->left; /* 01, rotate right */
139 tree->left = c->right;
140 c->right = tree;
141 tree = c;
142 if (tree->left == NULL)
143 break;
144 }
145 r->left = tree; /* 02, link right */
146 r = tree;
147 tree = tree->left;
148 }
149 else if (key > tree->key)
150 {
151 if (tree->right == NULL)
152 break;
153 if (key > tree->right->key)
154 {
155 c = tree->right; /* 03, rotate left */
156 tree->right = c->left;
157 c->left = tree;
158 tree = c;
159 if (tree->right == NULL)
160 break;
161 }
162 l->right = tree; /* 04, link left */
163 l = tree;
164 tree = tree->right;
165 }
166 else
167 {
168 break;
169 }
170 }
171
172 l->right = tree->left; /* 05, assemble */
173 r->left = tree->right;
174 tree->left = N.right;
175 tree->right = N.left;
176
177 return tree;
178 }
179
180 /*
181 * 将结点插入到伸展树中(不旋转)
182 *
183 * 参数说明：
184 * tree 伸展树的根结点
185 * z 插入的结点
186 * 返回值：
187 * 根节点
188 */
189 static Node* splaytree_insert(SplayTree tree, Node *z)
190 {
191 Node *y = NULL;
192 Node *x = tree;
193
194 // 查找z的插入位置
195 while (x != NULL)
196 {
197 y = x;
198 if (z->key < x->key)
199 x = x->left;
200 else if (z->key > x->key)
201 x = x->right;
202 else
203 {
204 printf("不允许插入相同节点(%d)!\\n", z->key);
205 // 释放申请的节点，并返回tree。
206 free(z);
207 return tree;
208 }
209 }
210
211 if (y==NULL)
212 tree = z;
213 else if (z->key < y->key)
214 y->left = z;
215 else
216 y->right = z;
217
218 return tree;
219 }
220
221 /*
222 * 创建并返回伸展树结点。
223 *
224 * 参数说明：
225 * key 是键值。
226 * parent 是父结点。
227 * left 是左孩子。
228 * right 是右孩子。
229 */
230 static Node* create_splaytree_node(Type key, Node *left, Node* right)
231 {
232 Node* p;
233
234 if ((p = (Node *)malloc(sizeof(Node))) == NULL)
235 return NULL;
236 p->key = key;
237 p->left = left;
238 p->right = right;
239
240 return p;
241 }
242
243 /*
244 * 新建结点(key)，然后将其插入到伸展树中，并将插入节点旋转为根节点
245 *
246 * 参数说明：
247 * tree 伸展树的根结点
248 * key 插入结点的键值
249 * 返回值：
250 * 根节点
251 */
252 Node* insert_splaytree(SplayTree tree, Type key)
253 {
254 Node *z; // 新建结点
255
256 // 如果新建结点失败，则返回。
257 if ((z=create_splaytree_node(key, NULL, NULL)) == NULL)
258 return tree;
259
260 // 插入节点
261 tree = splaytree_insert(tree, z);
262 // 将节点(key)旋转为根节点
263 tree = splaytree_splay(tree, key);
264 }
265
266 /*
267 * 删除结点(key为节点的键值)，并返回根节点。
268 *
269 * 参数说明：
270 * tree 伸展树的根结点
271 * z 删除的结点
272 * 返回值：
273 * 根节点(根节点是被删除节点的前驱节点)
274 *
275 */
276 Node* delete_splaytree(SplayTree tree, Type key)
277 {
278 Node *x;
279
280 if (tree == NULL)
281 return NULL;
282
283 // 查找键值为key的节点，找不到的话直接返回。
284 if (splaytree_search(tree, key) == NULL)
285 return tree;
286
287 // 将key对应的节点旋转为根节点。
288 tree = splaytree_splay(tree, key);
289
290 if (tree->left != NULL)
291 {
292 // 将"tree的前驱节点"旋转为根节点
293 x = splaytree_splay(tree->left, key);
294 // 移除tree节点
295 x->right = tree->right;
296 }
297 else
298 x = tree->right;
299
300 free(tree);
301
302 return x;
303 }
304
305 /*
306 * 销毁伸展树
307 */
308 void destroy_splaytree(SplayTree tree)
309 {
310 if (tree==NULL)
311 return ;
312
313 if (tree->left != NULL)
314 destroy_splaytree(tree->left);
315 if (tree->right != NULL)
316 destroy_splaytree(tree->right);
317
318 free(tree);
319 }
320
321 /*
322 * 打印"伸展树"
323 *
324 * tree -- 伸展树的节点
325 * key -- 节点的键值
326 * direction -- 0，表示该节点是根节点;
327 * -1，表示该节点是它的父结点的左孩子;
328 * 1，表示该节点是它的父结点的右孩子。
329 */
330 void print_splaytree(SplayTree tree, Type key, int direction)
331 {
332 if(tree != NULL)
333 {
334 if(direction==0) // tree是根节点
335 printf("%2d is root\\n", tree->key);
336 else // tree是分支节点
337 printf("%2d is %2d‘s %6s child\\n", tree->key, key, direction==1?"right" : "left");
338
339 print_splaytree(tree->left, tree->key, -1);
340 print_splaytree(tree->right,tree->key, 1);
341 }
342 }
伸展树的测试程序(splaytree_test.c)
1 /**
2 * C 语言: 伸展树测试程序
3 *
4 * @author skywang
5 * @date 2014/02/03
6 */
7
8 #include <stdio.h>
9 #include "splay_tree.h"
10
11 static int arr[]= {10,50,40,30,20,60};
12 #define TBL_SIZE(a) ( (sizeof(a)) / (sizeof(a[0])) )
13
14 void main()
15 {
16 int i, ilen;
17 SplayTree root=NULL;
18
19 printf("== 依次添加: ");
20 ilen = TBL_SIZE(arr);
21 for(i=0; i<ilen; i++)
22 {
23 printf("%d ", arr[i]);
24 root = insert_splaytree(root, arr[i]);
25 }
26
27 printf("\\n== 前序遍历: ");
28 preorder_splaytree(root);
29
30 printf("\\n== 中序遍历: ");
31 inorder_splaytree(root);
32
33 printf("\\n== 后序遍历: ");
34 postorder_splaytree(root);
35 printf("\\n");
36
37 printf("== 最小值: %d\\n", splaytree_minimum(root)->key);
38 printf("== 最大值: %d\\n", splaytree_maximum(root)->key);
39 printf("== 树的详细信息: \\n");
40 print_splaytree(root, root->key, 0);
41
42 i = 30;
43 printf("\\n== 旋转节点(%d)为根节点\\n", i);
44 printf("== 树的详细信息: \\n");
45 root = splaytree_splay(root, i);
46 print_splaytree(root, root->key, 0);
47
48 // 销毁伸展树
49 destroy_splaytree(root);
50 }
伸展树的C测试程序
伸展树的测试程序运行结果如下：
== 依次添加: 10 50 40 30 20 60
== 前序遍历: 60 30 20 10 50 40
== 中序遍历: 10 20 30 40 50 60
== 后序遍历: 10 20 40 50 30 60
== 最小值: 10
== 最大值: 60
== 树的详细信息:
60 is root
30 is 60‘s left child
20 is 30‘s left child
10 is 20‘s left child
50 is 30‘s right child
40 is 50‘s left child
== 旋转节点(30)为根节点
== 树的详细信息:
30 is root
20 is 30‘s left child
10 is 20‘s left child
60 is 30‘s right child
50 is 60‘s left child
40 is 50‘s left child
测试程序的主要流程是：新建伸展树，然后向伸展树中依次插入10,50,40,30,20,60。插入完毕这些数据之后，伸展树的节点是60；此时，再旋转节点，使得30成为根节点。
依次插入10,50,40,30,20,60示意图如下：
将30旋转为根节点的示意图如下：
