Java数据结构与算法解析——伸展树
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了Java数据结构与算法解析——伸展树相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
伸展树简介
伸展树(Splay Tree)是特殊的二叉查找树。
它的特殊是指,它除了本身是棵二叉查找树之外,它还具备一个特点: 当某个节点被访问时,伸展树会通过旋转使该节点成为树根。这样做的好处是,下次要访问该节点时,能够迅速的访问到该节点。
特性
1.和普通的二叉查找树相比,具有任何情况下、任何操作的平摊O(log2n)的复杂度,时间性能上更好
2.和一般的平衡二叉树比如 红黑树、AVL树相比,维护更少的节点额外信息,空间性能更优,同时编程复杂度更低
3.在很多情况下,对于查找操作,后面的查询和之前的查询有很大的相关性。这样每次查询操作将被查到的节点旋转到树的根节点位置,这样下次查询操作可以很快的完成
4.可以完成对区间的查询、修改、删除等操作,可以实现线段树和树状数组的所有功能
旋转
伸展树实现O(log2n)量级的平摊复杂度依靠每次对伸展树进行查询、修改、删除操作之后,都进行旋转操作 Splay(x, root),该操作将节点x旋转到树的根部。
伸展树的旋转有六种类型,如果去掉镜像的重复,则为三种:zig(zag)、zig-zig(zag-zag)、zig-zag(zag-zig)。
1 自底向上的方式进行旋转
1.1 zig旋转
如图所示,x节点的父节点为y,x为y的左子节点,且y节点为根。则只需要对x节点进行一次右旋(zig操作),使之成为y的父节点,就可以使x成为伸展树的根节点。
1.2 zig-zig旋转
如上图所示,x节点的父节点y,y的父节点z,三者在一字型链上。此时,先对y节点和z节点进行zig旋转,然后再对x节点和y节点进行zig旋转,最后变为右图所示,x成为y和z的祖先节点。
1.3 zig-zag旋转
如上图所示,x节点的父节点y,y的父节点z,三者在之字型链上。此时,先对x节点和y节点进行zig旋转,然后再对x节点和y节点进行zag旋转,最后变为右图所示,x成为y和z的祖先节点。
2 自顶向下的方式进行旋转
这种方式不需要节点存储其父节点的引用。当我们沿着树向下搜索某个节点x时,将搜索路径上的节点及其子树移走。构建两棵临时的树——左树和右树。没有被移走的节点构成的树称为中树。
(1) 当前节点x是中树的根
(2) 左树L保存小于x的节点
(3) 右树R保存大于x的节点
开始时候,x是树T的根,左树L和右树R都为空。三种旋转操作:
2.1 zig旋转
如图所示,x节点的子节点y就是我们要找的节点,则只需要对y节点进行一次右旋(zig操作),使之成为x的父节点,就可以使y成为伸展树的根节点。将y作为中树的根,同时,x节点移动到右树R中,显然右树上的节点都大于所要查找的节点。
2.2 zig-zig旋转
如上图所示,x节点的左子节点y,y的左子节点z,三者在一字型链上,且要查找的节点位于z节点为根的子树中。此时,对x节点和y节点进行zig,然后对z和y进行zig,使z成为中树的根,同时将y及其子树挂载到右树R上。
2.3 zig-zag旋转
如上图所示,x节点的左子节点y,y的右子节点z,三者在之字型链上,且需要查找的元素位于以z为根的子树上。此时,先对x节点和y节点进行zig旋转,将x及其右子树挂载到右树R上,此时y成为中树的根节点;然后再对z节点和y节点进行zag旋转,使得z成为中树的根节点。
2.4 合并
最后,找到节点或者遇到空节点之后,需要对左、中、右树进行合并。如图所示,将左树挂载到中树的最左下方(满足遍历顺序要求),将右树挂载到中树的最右下方(满足遍历顺序要求)。
伸展树的实现
1.节点
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
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- 14
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- 18
- 19
- 20
SplayTree是伸展树,而SplayTreeNode是伸展树节点。在此,我将SplayTreeNode定义为SplayTree的内部类。在伸展树SplayTree中包含了伸展树的根节点mRoot。SplayTreeNode包括的几个组成元素:
(1) key – 是关键字,是用来对伸展树的节点进行排序的。
(2) left – 是左孩子。
(3) right – 是右孩子。
2.旋转
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
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- 69
- 70
上面的代码的作用:将”键值为key的节点”旋转为根节点,并返回根节点。它的处理情况共包括:
(a):伸展树中存在”键值为key的节点”。
将”键值为key的节点”旋转为根节点。
(b):伸展树中不存在”键值为key的节点”,并且key < tree->key。
b-1) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话,将”键值为key的节点”的前驱节点旋转为根节点。
b-2) “键值为key的节点”的前驱节点存在的话,则意味着,key比树中任何键值都小,那么此时,将最小节点旋转为根节点。
(c):伸展树中不存在”键值为key的节点”,并且key > tree->key。
c-1) “键值为key的节点”的后继节点存在的话,将”键值为key的节点”的后继节点旋转为根节点。
c-2) “键值为key的节点”的后继节点不存在的话,则意味着,key比树中任何键值都大,那么此时,将最大节点旋转为根节点。
下面列举个例子分别对a进行说明。
在下面的伸展树中查找10,,共包括”右旋” –> “右链接” –> “组合”这3步。
01, 右旋
对应代码中的”rotate right”部分
02, 右链接
对应代码中的”link right”部分
03.组合
对应代码中的”assemble”部分
提示:如果在上面的伸展树中查找”70”,则正好与”示例1”对称,而对应的操作则分别是”rotate left”, “link left”和”assemble”。
其它的情况,例如”查找15是b-1的情况,查找5是b-2的情况”等等,这些都比较简单,大家可以自己分析。
3.插入
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
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- 49
- 50
- 51
insert(key)是提供给外部的接口,它的作用是新建节点(节点的键值为key),并将节点插入到伸展树中;然后,将该节点旋转为根节点。
insert(tree, z)是内部接口,它的作用是将节点z插入到tree中。insert(tree, z)在将z插入到tree中时,仅仅只将tree当作是一棵二叉查找树,而且不允许插入相同节点。
4.删除
- 1
- 2
- 3
- 4
- 5
- 6
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- 33
- 34
- 35
- 36
remove(key)是外部接口,remove(tree, key)是内部接口。
remove(tree, key)的作用是:删除伸展树中键值为key的节点。
它会先在伸展树中查找键值为key的节点。若没有找到的话,则直接返回。若找到的话,则将该节点旋转为根节点,然后再删除该节点。
伸展树实现完整代码