专题区间dp

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了专题区间dp相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1.【nyoj737】石子合并

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描述    有N堆石子排成一排,每堆石子有一定的数量。现要将N堆石子并成为一堆。合并的过程只能每次将相邻的两堆石子堆成一堆,每次合并花费的代价为这两堆石子的和,经过N-1次合并后成为一堆。求出总的代价最小值。

输入
有多组测试数据,输入到文件结束。
每组测试数据第一行有一个整数n,表示有n堆石子。
接下来的一行有n(0< n <200)个数,分别表示这n堆石子的数目,用空格隔开
输出
输出总代价的最小值,占单独的一行
样例输入
3
1 2 3
7
13 7 8 16 21 4 18
样例输出
9
239
思路:

dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]),dp[i][j]代表从i到j合并的最小值,sum[i][j]代表从i到j的价值和。

区间dp的循环是从小区间到大区间,根据这一规律写出循环结构。

注意dp[i][i]是0。

代码:

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#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
int dp[205][205],a[205],sum[205][205];  
int main()  
{  
    int n,i,j,k;  
    while(cin>>n)  
    {  
        memset(sum,0,sizeof(sum));  
        memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));  
        for(i=1; i<=n; i++)  
        {  
            scanf("%d",&a[i]);  
            dp[i][i]=0;  
            sum[i][i]=a[i];  
        }  
        for(i=1; i<n; i++)  
        {  
            for(j=i+1; j<=n; j++)  
                sum[i][j]+=sum[i][j-1]+a[j];  
        }  
        for(int len=2; len<=n; len++)  
            for(i=1; i<=n-len+1; i++)  
            {  
                j=i+len-1;  
                for(k=i; k+1<=j; k++)  
                    dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]+sum[i][j]);  
            }  
        printf("%d\n",dp[1][n]);  
    }  
    return 0;  
}  
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2.【nyoj37】回文字符串

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给你一个字符串,可在任意位置添加字符,最少再添加几个字符,可以使这个字符串成为回文字符串。

样例输入

1
Ab3bd

样例输出

2

思路1:

利用反串找LCA

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#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
char s[1005];  
int dp[1005][1005];  
int main()  
{  
    int t,i,j;  
    cin>>t;  
    while(t--)  
    {  
        scanf("%s",s);  
        int n=strlen(s);  
        memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));  
        dp[0][0]=0;  
        for(i=1; i<n; i++)  
            dp[i][i]=dp[i][i-1]=0;  
        for(int len=2; len<=n; len++)  
            for(i=0; i<=n-len; i++)  
            {  
                j=i+len-1;  
                if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=dp[i+1][j-1];  
                else dp[i][j]=min(dp[i+1][j]+1,dp[i][j-1]+1);  
            }  
        printf("%d\n",dp[0][n-1]);  
    }  
} 
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思路2:

s[i]=s[j],dp[i][j]=dp[i+1][j-1];若!=,dp[i][j]=min(dp[i+1][j]+1,dp[i][j-1]+1)

解释一下,假如回文串是「1123」,dp[1][4] = min(dp[1][3],dp[2][4]) + 1,先把「112」看成一个整体,dp[1][3] = 1,就是说再补一个就可以回文,最后加上一个「3」,也就是 +1 操作;「123」同理。

注意dp[i][i]=0,当len=2时,若s[i]=s[j]则dp[i][j]=0,所以初始化dp[i][i-1]也要全部赋为0

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#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
char s[1005];  
int dp[1005][1005];  
int main()  
{  
    int t,i,j;  
    cin>>t;  
    while(t--)  
    {  
        scanf("%s",s);  
        int n=strlen(s);  
        memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));  
        dp[0][0]=0;  
        for(i=1; i<n; i++)  
            dp[i][i]=dp[i][i-1]=0;  
        for(int len=2; len<=n; len++)  
            for(i=0; i<=n-len; i++)  
            {  
                j=i+len-1;  
                if(s[i]==s[j]) dp[i][j]=dp[i+1][j-1];  
                else dp[i][j]=min(dp[i+1][j]+1,dp[i][j-1]+1);  
            }  
        printf("%d\n",dp[0][n-1]);  
    }  
} 
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3.【nyoj15】括号匹配(二)

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描述给你一个字符串,里面只包含"(",")","[","]"四种符号,请问你需要至少添加多少个括号才能使这些括号匹配起来。
如:
[]是匹配的
([])[]是匹配的
((]是不匹配的
([)]是不匹配的

输入
第一行输入一个正整数N,表示测试数据组数(N<=10)
每组测试数据都只有一行,是一个字符串S,S中只包含以上所说的四种字符,S的长度不超过100
输出
对于每组测试数据都输出一个正整数,表示最少需要添加的括号的数量。每组测试输出占一行
样例输入
4
[]
([])[]
((]
([)]
样例输出
0
0
3
2
思路:
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i][k]+dp[k+1][j]),特殊情况当s[i]与s[j]匹配时,dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i+1][j-1])
注意当截取长度为2且s[i]与s[j]匹配时,不需要添加符号,所以初始化dp[i][i-1]=0,dp[i][i]=1。
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#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
char s[105];  
int dp[105][105];  
int main()  
{  
    int t,i,j,k;  
    cin>>t;  
    while(t--)  
    {  
        scanf("%s",s);  
        int n=strlen(s);  
        memset(dp,0x3f3f3f3f,sizeof(dp));  
        dp[0][0]=1;  
        for(i=1; i<n; i++)  
        {  
            dp[i][i]=1;  
            dp[i][i-1]=0;  
        }  
        for(int len=2; len<=n; len++)  
            for(i=0; i<=n-len; i++)  
            {  
                j=i+len-1;  
                if(s[i]==[&&s[j]==]||s[i]==(&&s[j]==))  
                    dp[i][j]=dp[i+1][j-1];  
                for(k=i; k+1<=j; k++)//这里不是else  
                    dp[i][j]=min(dp[i][k]+dp[k+1][j],dp[i][j]);  
            }  
        printf("%d\n",dp[0][n-1]);  
    }  
}
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4.【nyoj746】整数划分(四)

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给出两个整数 n , m ,要求在 n 中加入m - 1 个乘号,将n分成m段,求出这m段的最大乘积

输入
第一行是一个整数T,表示有T组测试数据
接下来T行,每行有两个正整数 n,m ( 1<= n < 10^19, 0 < m <= n的位数);
输出
输出每组测试样例结果为一个整数占一行
样例输入
2
111 2
1111 2
样例输出
11
121

思路:

由于最大的划分所有的乘号都是固定的,可以从前到后以此找出所有乘号的位置,找出最优子结构(从结论入手向前拆分问题)。

dp[i][j]代表0到i个数字中添加j个乘号,要求dp[n][m]即求dp[k][m-1]*a[k+1][i],应用到所有dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*a[k+1][i]),a[i][j]是从i到j的组合数。
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#include<bits/stdc++.h>  
using namespace std;  
typedef long long LL;  
LL dp[25][25],a[25][25];  
char s[25];  
int main()  
{  
    LL n,m,t,i,j,k;  
    cin>>t;  
    while(t--)  
    {  
        scanf("%s%lld",s,&m);  
        n=strlen(s);  
        memset(dp,0,sizeof(dp));  
        for(i=0; i<n; i++)  
            a[i][i]=s[i]-0;  
        for(i=0; i<n-1; i++)  
            for(j=i+1; j<n; j++)  
                a[i][j]=a[i][j-1]*10+(s[j]-0);  
        for(i=0; i<n; i++)  
            dp[i][0]=a[0][i];  
        for(j=1; j<=m-1; j++)  
            for(i=1; i<n; i++)  
                for(k=0; k+1<=i; k++)  
                    dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[k][j-1]*a[k+1][i]);  
        printf("%lld\n",dp[n-1][m-1]);  
    }  
    return 0;  
}  
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以上是关于专题区间dp的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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