动态规划——最长回文子串

Posted 2020-10-24 Just_for_Myself

　　最长回文子串的问题描述：

 

　　下面介绍动态规划的方法，使用动态规划可以达到最优的 O(n²) 复杂度。

　　令 dp[i][j] 表示 S[i] 至 S[j] 所表示的子串是否是回文子串，是则为 1，不是则为 0。这样根据 S[i] 是否等于 S[j] ，可以把转移情况分为两类：

1. 1.  若 S[i] == S[j]，那么只要 S[i+1] 至 S[j-1] 是回文子串，S[i] 至 S[j] 就是回文子串；如果S[i+1] 至 S[j-1] 不是回文子串，则 S[i] 至 S[j] 也不是回文子串。
   2.  若 S[i] != S[j]，那么 S[i] 至 S[j] 一定不是回文子串。　　　　

　　由此可以写出状态转移方程：

　　　　　　　　　　$dp[i][j]=\\left\\{\\begin{matrix}dp[i+1][j-1],S[i]==S[j]\\\\ 0,S[i]!=S[j]\\end{matrix}\\right.$

　　边界：dp[i][i]=1，dp[i][i+1] = (S[i] == S[i+1]) ? 1 : 0。

　　根据递推写法从边界出发的原理，注意到边界表示的是长度为 1 和 2 的子串，且每次转移时都对子串的长度减了 1，因此不妨考虑按子串的长度和子串的初始位置进行枚举，即第一遍将长度为 3 的子串的 dp 值全部求出，第二遍通过第一遍结果计算出长度为 4 的子串的 dp 值 ……

　　代码如下：

 1 /*
 2     最长回文子串 
 3 */
 4 
 5 #include <stdio.h>
 6 #include <string.h>
 7 #include <math.h>
 8 #include <stdlib.h>
 9 #include <time.h>
10 #include <stdbool.h>
11 
12 #define maxn 1010
13 char S[maxn];
14 int dp[maxn][maxn];                 
15 
16 int main() {
17     gets(S);                        // 输入整行字符 
18     int len=strlen(S), ans=1;        // ans 记录最长回文子串长度 
19     int i, j, L;        
20     // 边界 
21     for(i=0; i<len; ++i) {            
22         dp[i][i] = 1;
23         if(i < len-1) {
24             if(S[i] == S[i+1]) {
25                 dp[i][i+1] = 1;
26                 ans = 2;
27             }
28         }
29     }
30     // 状态转移方程 
31     for(L=3; L<=len; ++L) {            // 枚举子串长度 
32         for(i=0; i+L-1 < len; ++i) {    // 枚举子串的起始节点 
33             j = i+L-1;                // 子串的右端结点 
34             if(S[i]==S[j] && dp[i+1][j-1]==1) {
35                 dp[i][j] = 1;
36                 ans = L;            // 更新最长回文子串长度 
37             }
38         }
39     }
40     printf("%d\\n", ans);            // 输出 
41 
42     return 0;
43 }