BZOJ 2038 2009国家集训队 小Z的袜子模板·莫队

Posted 2020-10-22 Driver_Lao

【题解】

　　1,先说说莫队算法。

　　　　莫队算法是用来离线处理区间问题的算法。非常易于理解和使用，且运用十分广泛。

　　　　假设我们现在已知区间[L,R]的答案，如果我们能以较低的时间复杂度扩展得到区间$[L-1,R]，[L+1,R]，[L,R-1]，[L,R+1]$的答案，我们就可以使用莫队算法。通常可以接受的扩展的时间复杂度为$O(1)$或者$O(logN)$.

　　　　那么莫队算法具体是怎样的呢？首先我们把询问按照区间左端点分成$\\sqrt{n}$块，同一块内按照区间右端点进行排序。当我们按调整后的顺序处理询问时，如果左端点比询问区间的左端点小，那就把左端点右移，如果左端点比询问区间的右端点大，那就把左端点左移；右端点也同理。然后再把处理好的询问按原来的顺序储存。

　　　　为什么这样做可以保证时间复杂度？假设扩展的时间复杂度为$f(n)$，区间长为$n$，询问次数为$m$。显然，对于每次询问，左端点最多移动$\\sqrt{n}$次，那么移动左端点的总时间复杂度就是$O(f(n)*\\sqrt{n}*m)$；右端点移动次数与询问次数无关，即在同一个块内，右端点最多移动n次，那么移动右端点的时间复杂度就是$O(f(n)*\\sqrt{n}*n)$.　　$m$和$n$同阶，那么莫队算法的时间复杂度就是$O(f(n)*\\sqrt{n}*n)$.

　　　　还有一个常数优化，就是当块的编号为奇数时，把询问按照区间右端点从小到大排序；当块的编号为偶数时，把询问按照区间右端点从大到小排序。这样可以减少右端点移动的次数。实测可以有效提高效率。

　　2,本题是莫队算法的基础题。假设共有n只袜子，每种颜色的袜子的数量是cnt[i]，选中同色袜子的概率是$Sigma(0.5*cnt[i]*(cnt[i]-1))/(0.5*n*(n-1))$.