[CQOI2013]新Nim游戏

Posted 2020-10-22 Z-Y-Y-S

Description

传统的Nim游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和Nim游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

 

Input

第一行为整数k。即火柴堆数。第二行包含k个不超过10⁹的正整数，即各堆的火柴个数。

 

Output

 

输出第一回合拿的火柴数目的最小值。如果不能保证取胜，输出-1。

Sample Input

6
5 5 6 6 5 5

Sample Output

21

HINT

k<=100

可知异或和为0则必败，也就是说开头取掉几堆后，剩余集合不能出现异或为0的子集

可知就是维护一个权值和最大的线性无关组(线性基)

从大到小排序，一个个加入线性基

如果没有成功插入，那么说明该元素与其他线性相关，即可以用线性基中的子集异或和表示

这和元素的贪心很像

给出拟阵证明

我们设n个火柴堆的数目为集合S,若某个S的子集r不存在任何一个非空子集异或和0，则r∈I.下面我们证明二元组M=(S,I)是一个拟阵。
遗传性：设A∈I,则A是S的线性无关组，则A的任意非空子集均线性无关，即对A的任意子集B,B均线性无关，因此B∈I,证毕。
交换性：设A,B∈I,且|A|<|B|,我们要证明存在x∈B,使得A∪{x}∈I.利用反证法，假设对于任意x∈B-A,均有A∪{x}不属于I,则B-A中的元素均在A的异或空间中，可由A的子集异或和表示。
因此B中的元素都在A的异或空间中。那么必然有B的异或空间包含于A的异或空间。由|A|<|B|且A,B线性无关，显然矛盾。因此交换性存在，证毕。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<cmath>
 6 using namespace std;
 7 typedef long long lol;
 8 int P[40],a[101],n;
 9 lol ans;
10 int add(int x)
11 {int i;
12   for (i=30;i>=0;i--)
13     if (x&(1<<i))
14       {
15     if (P[i]==0)
16       {
17         P[i]=x;
18         break;
19       }
20     x^=P[i];
21       }
22   return x;
23 }
24 int main()
25 {int i;
26   cin>>n;
27   for (i=1;i<=n;i++)
28     scanf("%d",&a[i]);
29   sort(a+1,a+n+1);
30   for (i=n;i>=1;i--)
31     {
32       if (add(a[i])==0) ans+=a[i];
33     }
34   cout<<ans;
35 }