背包问题笔记

Posted 2020-10-22 cryingrain

对于背包问题算法的理解

01背包：

算是模板的代码：

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int dp[1005];
int weight[1005];
int value[1005];int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=n; i++)
        cin>>value[i]>>weight[i];
    for(int i=1; i<=n; i++)// 对每个数判断，可反
    {
        for(int j=m; j>=weight[i]; j--)// 这里这个循环定死，不能反, 反了就是完全背包
        {
            dp[j]=max(dp[j],(dp[j-weight[i]]+value[i]));// 不断在判断最优解
        }
    }
    for(int i=0;i<=m;i++)
        cout<<dp[i]<<"  ";
    cout<<endl;
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

其本质是遍历每一个物品，从满重量到该物品的重量，寻找当前最优解（max(dp[j],dp[j-weight[i]+value[i])（分别对应选和不选））对于遍历到每一个物品，dp[j]都是j重量下的最优解，然后不断更新dp数组，最后得出全局最优解。

规定从 m 开始循环，保证了选择这个物品时，肯定不会重复使用状态。

完全背包：

算是模板的代码：

 

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

int value[1005];
int weight[1005];
int dp[10005];
int main()
{
    int m,n;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
        cin>>value[i]>>weight[i];
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=0;j<=m;j++)
            if(j>=weight[i])
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i]);
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
}

与01背包不同，完全背包物品可以无限选用。所以j变量从小到大变化可以保证每件物品均可无限选用（用一组简单的数据测试便可理解），每次求最优值，最后得出全局最优值。

 多重背包：

多重背包可以分解成01背包和完全背包的组合。

如果全部选择某一物品宣曼后仍然有剩余，则可以看做该物品可以无限选取；

如果不能看做无限选取，则可以看做一些相同的01背包的组合；

用二进制分解优化后的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1005;

int dp[N];
int c[N],w[N],num[N];
int n,m;

void ZeroOne_Pack(int cost,int weight,int n)//吧01背包封装成函数
{
    for(int i=n; i>=cost; i--)
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);
}

void Complete_Pack(int cost,int weight,int n)//把完全背包封装成函数
{
    for(int i=cost; i<=n; i++)
        dp[i] = max(dp[i],dp[i-cost] + weight);
}

int Multi_Pack(int c[],int w[],int num[],int n,int m)//多重背包
{
    memset(dp,0,sizeof(dp));
    for(int i=1; i<=n; i++)//遍历每种物品
    {
        if(num[i]*c[i] > m)
            Complete_Pack(c[i],w[i],m);
            //如果全装进去已经超了重量，相当于这个物品就是无限的
            //因为是取不光的。那么就用完全背包去套
        else
        {
            int k = 1;
            //取得光的话，去遍历每种取法
            //这里用到是二进制思想，降低了复杂度
            //为什么呢，因为他取的1,2,4,8...与余数个该物品，打包成一个大型的该物品
            //这样足够凑出了从0-k个该物品取法
            //把复杂度从k变成了logk
            //如k=11，则有1,2,4,4，足够凑出0-11个该物品的取法
            while(k < num[i])
            {
                ZeroOne_Pack(k*c[i],k*w[i],m);
                num[i] -= k;
                k <<= 1;
            }
            ZeroOne_Pack(num[i]*c[i],num[i]*w[i],m);
        }
    }
    return dp[m];
}

int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>m>>n;
        for(int i=1; i<=n; i++)
            cin>>c[i]>>w[i]>>num[i];
        cout<<Multi_Pack(c,w,num,n,m)<<endl;
    }
    return 0;
}