[学习笔记]背包问题

Posted 2020-08-21 Aireen Ye

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了[学习笔记]背包问题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

01背包

有件物品和一个容量为的背包.第件物品体积为,价值为.

求背包最大价值.

f[i][j] 表示前种物品体积为的最大价值,

f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-C_i]+W_i) .

时间复杂度 O(VN) .

优化空间复杂度

f[j] 表示体积为的最大价值,

f[j]=max(f[j],f[j-C_i]+W_i) (从大到小枚举).

多重背包

有件物品和一个容量为的背包。第种物品最多有件可用，体积为，价值为.求背包最大价值.

f[i][j] 表示前种物品体积为的最大价值,

$f[i][j]=max(f[i-1][j-C_i\\;\\times\\;k]+W_i\\;\\times\\;k)(0\\;\\leq\\;k\\;\\leq\\;M_i)$

时间复杂度 O(VMN) .

二进制拆分

将 M_i 拆成 $2^0,2^1,2^2...2^k,M_i-$\\sum_{i=0}^{k}{2^i}$$(\\sum_{i=0}^{k}{2^i}<M_i\\;\\leq\\;\\sum_{i=0}^{k+1}{2^i})$$ ,

则在其中任意选取多个数,其和 $$\\leq$M_i;$

[1,M_i] 间的数都可以通过选取其中多个数得到.

证明:

因为每个十进制数都可拆成二进制数, 2^0,2^1,2^2...2^k 分别代表二进制某一位上的,

所以 $[1,$\\sum_{i=0}^{k}{2^i}$]$ 间的数都可以取到.

加上 $M_i-$\\sum_{i=0}^{k}{2^i}$$ 后, $[M_i-$\\sum_{i=0}^{k}{2^i}$+1,M_i]$ 间的数都可以取到.

因为 $M_i\\;\\leq\\;$\\sum_{i=0}^{k+1}{2^i}$ ,即 $M_i\\;\\leq\\;2^{k+2}-1$ ,

所以 $M_i-2\\;\\times\\;2^{k+1}+1\\;\\leq\\;0$ ,即 $M_i<2\\;\\times\\;(2^{k+1}-1)=$2\\;\\times\\;\\sum_{i=0}^{k}{2^i}$$ .

所以 $[1,$\\sum_{i=0}^{k}{2^i}$]\\cap[M_i-$\\sum_{i=0}^{k}{2^i}$+1,M_i]=[1,M_i]$ .

例题

Description

设有 1g,2g,3g,5g,10g,20g 的砝码各若干枚（其总重 $\\leq100000$ ）要求：计算用这些砝码能称出的不同重量的个数，但不包括一个砝码也不用的情况。

Input

一行，包括六个正整数 a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6 ，表示砝码有 a_1 个，砝码有 a_2 个... 20g 砝码有 a_6 个。相邻两个整数之间用单个空格隔开。

Output

以的形式输出，其中为可以称出的不同重量的个数。

Sample Input

1 1 0 0 0 0

Sample Output

Total=3

Solution

多重背包二进制拆分+注意输出格式。

#include<cmath>
#include<ctime>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cstdio>
#include<vector>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 105
#define M 100005
using namespace std;
int a[7]={0,1,2,3,5,10,20};
int w[N],n,ans;bool f[N][M];
inline void init(){    
    for(int i=1,s,k;i<=6;++i){
        scanf("%d",&s);k=s;
        for(int j=1;k>=j;j<<=1,k>>=1){
            w[++n]=j*a[i];s-=j;
        }
        if(s) w[++n]=s*a[i];
    }
    f[0][0]=true;
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=0;j<w[i];++j)
            f[i][j]=f[i-1][j];
        for(int j=w[i];j<M;++j)
            f[i][j]=(f[i-1][j]||f[i-1][j-w[i]]);
    }
    for(int j=1;j<M;++j)
        if(f[n][j]) ++ans;
    printf("Total=%d\\n",ans);
}
int main(){
    freopen("weight.in","r",stdin);
    freopen("weight.out","w",stdout);
    init();
    fclose(stdin);
    fclose(stdout); 
    return 0;
}