算法笔记：动态规划——背包问题（上）

Posted 2022-12-10 明天会更好new

算法笔记：动态规划——背包问题

前言

今天是6.8，连续几天的每日一题都是背包问题我受不了了，必须解决了它，说实话有一些复杂，但是有不是完全复杂，这篇文章打算用几个例题来尽量解决掉背包算法。

什么是背包问题

直接看一道题：

1049. 最后一块石头的重量 II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/last-stone-weight-ii
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

定义

背包问题就是规定了一个target（背包总体积），然后给你一堆石头，每个石头有自己的体积vi，问你多少块石头可以填满背包——》vi*n=target，求n。

ok知道定义了，可是这和上面的题也没关系了，上面的题既没有target（总量）也没用问多少个，问题和条件都对不上啊！确实是没有直接告诉用背包算法，这是这道题的难点——》需要转化，但是转化之后非常好做，背包算法的题乃至dp的题都是出题非常活，有的是告诉你就是用dp，但是程序需要添加复杂的条件判断，有的就是上面这种，看不出来用dp需要转换。

题解

说正经的。题目问的是剩下的石头但是剩下的石头是哪来的？——》两堆石头的差！要求是剩下的石头尽量小——》两堆石头质量尽量相等。

所以：x+y=sum，x≈y，|x-y|=res。现在sum知道，要求res，需要知道x和y，x和y尽量相等=sum/2，所以就是从一大堆里面挑出一堆石头≈sum/2——》target，知道一堆了另一堆就是sum-x。两堆一减就出来结果了。

好了分析完了直接写代码！

public int lastStoneWeightII(int[] stones) 
    int sum=0;
    for(int s:stones)
        sum+=s;
    
    int target=sum/2;
    int[] dp=new int[target+1];
    for(int s:stones)
        for(int i=target;i>=s;i--)
            dp[i]=Math.max(dp[i],dp[i-s]+s);
        
    
    return sum-2*dp[target];//相当于y-x，因为y-x=sum-x-x，x==dp[target]，上面代码的结果dp[target]一定是小的那份

好了，有代码了现在解释为什么这么写！就以[2,7,4,1,8,1]为例，只说核心代码，上面的求target相信大家已经明白了，就是明确背包的容量（有的题会给出target，给出的题一般是找石头比较难），下面的代码是找一堆石头去填背包，那么找哪些呢？根据dp的递推公式。

for(int s:stones)
        for(int i=target;i>=s;i--)
            dp[i]=Math.max(dp[i],dp[i-s]+s);
        
    

先说dp[i]是什么含义！——》重量在0~i之间选的石头的质量总和！dp[i-s]是什么意思？——》质量0~i-s之间选的石头质量总和，为什么要弄dp[i-s]——》dp[i-s]+s是接近dp[i]的质量！s是变化的，我们要让dp[target]尽量大所以Math.max(dp[i],dp[i-s]+s)。具体过程如下，实际上是二维dp但是压缩空间就成上面的代码了。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2			2[0]	2[1]	2[2]	2[3]	2[4]	2[5]	2[6]	2[7]	2[8]	2[9]
7								7[0]	7[1]	9[2]	9[3]	9[4]
4					4[0]	4[1]	6[2]	7[3]	7[4]	9[5]	9[6]	11[7]
1		1[0]	2[1]	3[2]	4[3]	5[4]	6[5]	7[6]	8[7]	9[8]	10[9]	11[10]
8									8[0]	9[1]	10[2]	11[3]
1		1[0]	2[1]	3[2]	4[3]	5[4]	6[5]	7[6]	8[7]	9[8]	10[9]	11[10]

一维就是二维叠加在一起，二维的代码不好写，直接理解了一维的就ok！

背包问题多样题型

实际上是万变不离其宗，但是往往只是稍微价个条件换个问题就不会了。

322. 零钱兑换

给定不同面额的硬币 coins 和一个总金额 amount。编写一个函数来计算可以凑成总金额所需的最少的硬币个数。如果没有任何一种硬币组合能组成总金额，返回 -1。

你可以认为每种硬币的数量是无限的。

示例 1：

输入：coins = [1, 2, 5], amount = 11
输出：3
解释：11 = 5 + 5 + 1

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

如果是第一次接触背包问题，看完了上面的分析，现在看这个题目知道要用背包算法那就不错了，我上面写的也没白费。

这个就是target给出来了，但是现在不是每种石头只能放一个了！，每种石头只能放一个那是简单题（并不是），现在说可以无数个，让你数最少需要几个，不管是什么样的石头。

我们直接画表分析，做算法题必须在纸上画尤其是dp这种，不然做出来也是蒙的或者背的模板。

这里提一下，大家注意到上面那道题遍历的顺序了吗，第二个循环是倒着的，从大到小。为什么要这样？——》因为每个石头只有一个，你正着遍历试试，就重复了啊！

for(int s:stones)
        for(int i=target;i>=s;i--)
            dp[i]=Math.max(dp[i],dp[i-s]+s);
        
    

那么这道题呢，现在石头无数个，你随便放，你再试试倒序，根本不行，以coins = [1, 2, 5], amount = 11为例，倒序成什么了：

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1		1	1（2）	1（3）	1（4）	1（5）	1（6）	1（7）	1（8）	1（9）	1（10）	1（11）

括号里面是正序应该的数字，我们都知道11是11个1元，倒序成了1了那肯定是不行的，所以必须正序，顺理成章就是11的时候是11。

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2			1	2[1]	2[2]	3[3]	3	4	4	5	5	6
5						1	2	2[2]	3	3	2[5]	3[6]

括号里面的下标，是说这个数字是根据哪个下标数字获得的，有的我想不清楚了就标上了，有的没标。

可以找到规律吗？根据上一道题。递推公式——》Math.min(dp[j],dp[j-coins[i]]+1)。

直接看代码：

public int coinChange(int[] coins, int amount) 
    if(coins.length == 0)
        return -1;
    int n=coins.length;
    int[] dp=new int[amount+1];
    Arrays.fill(dp,1,dp.length,Integer.MAX_VALUE);//
    for(int c:coins)
        for(int i=c;i<=amount;i++)
            if(dp[i-c] != Integer.MAX_VALUE)//
                dp[i]=Math.min(dp[i],dp[i-c]+1);
            
        
    
    if(dp[amount] != Integer.MAX_VALUE)//
        return dp[amount];
    return -1;

整体思路上1049一样，但是可以看到多了几行条件代码，因为如果dp[i]是MAX_VALUE说明用上一种硬币凑不出这个金额，比如用[2,3],4

	0	1	2	3	4
2	0		1[0]		2[1]
3	0			1[0]

其实这道题我认为难点是条件判断。

练习

先这样了，练习一下，明天再继续。

416. 分割等和子集

494. 目标和