算法笔记：背包问题（下）

Posted 2022-12-09 明天会更好new

算法笔记：背包问题（下）

前言

终于独立做出来背包的题了，之前的总结非常有效，这篇文章就是先做道每日一题回顾一下，然后把上篇文章后面留的两道题做一下。

做背包问题的思路（模板）

还是先回顾（总结）一下，背包算法，就是一堆数要凑成一个target，然后转换成普通dp——》都多少种凑法、能不能凑成等。

核心代码如下：

for(int c:coins)
            for(int i=c;i<=amount;i++)
                //如果是背包里的物品有限就倒序，防重复，无限就正序
                //dp[i]+=dp[i-c];递推公式，根据具体题目确定
            
        

518. 零钱兑换 II

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

之前说了，如果告诉你target明摆着是背包算法，那就是条件难或者递推公式难，但是这题是真简单，就告诉你了是背包算法，还没有条件。

public int change(int amount, int[] coins) 
        int[] dp=new int[amount+1];
        dp[0]=1;
        for(int c:coins)
            for(int i=c;i<=amount;i++)
                //如果是背包里的物品有限就倒序，防重复，无限就正序
                dp[i]+=dp[i-c];
            
        
        return dp[amount];
    

这道题是正序遍历，因为物品是无限的，就是要让它重复，倒序是为了让物品不重复，这个大家画一画就知道该倒序还是正序了，我这个结论也不一定对，大家还是会了之后，根据题意以自己判断为主，别有的题无限然后也倒序，我这个误导了大家。

具体过程，以amount = 5, coins = [1, 2, 5]为例：

	0	1	2	3	4	5
1	1	1	1	1	1	1
2			2	2	3	3
5						4

找递推公式这是一个找规律的过程，没有说背过一个规律所有题都适用，只不过在背包算法里面，绝大部分都是和dp[i-c]有关系，记住这个之后可以帮我们缩小找规律的难度。

先说的dp[i]是什么意思用目前所有的币种来凑我有多少种凑法，看第一行0，dp[0]=1，因为0不管用谁凑都只有一种凑法就是没有，没有是1种凑法。

1用1凑就1种方法，2用1凑，只能是1+1，同理3,、4、5，这里还没什么规律！看第二行，直接从2开始，因为0用2还是用1凑时候的方法没有变，1同理，其实这里就出规律了：

for(int i=c;i<=amount;i++)

继续从2开始，2用2凑是1种，2用1凑是1种这个在上一次遍历的时候已经知道了，总共是2种方法；3用2自己凑不出来，必须借助1来凑，借助1是在dp[1]的基础上，这里其实就清楚的看出规律了！！！3可以用1凑，但这是上一次遍历就知道的1种方法，用1和2一起凑1+2，是在dp[1]的基础上，因为1和1+2这是同一种方法，就是这样，递推公式就出来了。

上面是完整的背包还有dp递推公式怎么来的，实在不会就记住是和dp[i-c]有关系然后在看是±*/还是+1啥的，最终代码：

for(int c:coins)
            for(int i=c;i<=amount;i++)
                //如果是背包里的物品有限就倒序，防重复，无限就正序
                dp[i]+=dp[i-c];
            
        

还不会就在纸上画个表格。

之前的两道题

其实是想挑战一下困难题879，但是还是不大行，算了吧，继续中等题吧。

416. 分割等和子集

给你一个 只包含正整数 的 非空 数组 nums 。请你判断是否可以将这个数组分割成两个子集，使得两个子集的元素和相等。

示例 1：

输入：nums = [1,5,11,5]
输出：true
解释：数组可以分割成 [1, 5, 5] 和 [11] 。

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/partition-equal-subset-sum
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

public boolean canPartition(int[] nums) 
        int sum=0;
        for(int num:nums)
            sum+=num;
        
        if(sum%2!=0)
            return false;
        
        int target=sum/2;
        int[] dp=new int[target+1];
        dp[0]=1;
        for(int num:nums)
            for(int i=target;i>=num;i--)
                dp[i]+=dp[i-num];
            
        
        return dp[target]!=0;
    

以nums = [1,5,11,5]为例

	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	1	1	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
5						1	1	0	0	0	0	0
11												1
5						2	2	0	0	0	1	2

494. 目标和

给你一个整数数组 nums 和一个整数 target 。

向数组中的每个整数前添加 ‘+’ 或 ‘-’ ，然后串联起所有整数，可以构造一个 表达式 ：

例如，nums = [2, 1] ，可以在 2 之前添加 ‘+’ ，在 1 之前添加 ‘-’ ，然后串联起来得到表达式 “+2-1” 。
返回可以通过上述方法构造的、运算结果等于 target 的不同 表达式 的数目。

示例 1：

输入：nums = [1,1,1,1,1], target = 3
输出：5
解释：一共有 5 种方法让最终目标和为 3 。
-1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 - 1 + 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 - 1 + 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 - 1 + 1 = 3
+1 + 1 + 1 + 1 - 1 = 3

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/target-sum
著作权归领扣网络所有。商业转载请联系官方授权，非商业转载请注明出处。

public int findTargetSumWays(int[] nums, int target) 
        int sum=0;
        for(int num:nums)
            sum+=num;
        
        if(sum<target||(sum+target)%2!=0)
            return 0;
        
        int targetx=(sum+target)/2;
        int[] dp=new int[targetx+1];
        dp[0]=1;
        for(int num:nums)
            for(int i=targetx;i>=num;i--)
                dp[i]+=dp[i-num];
            
        
        return dp[targetx];
    

这道题就是需要转换一下：x-（sum-x）=target——》x=(sum+target)/2，从凑target有多少种方法到凑x有多少种方法。然后和416完全一样。

总结

好了dp背包就到这里了，会了之后就很简单，但是困难题还是很难，总结一下步骤：找到target与物品数组——》确定遍历顺序——》dp递推公式，就ok了，好了下一篇再见了。