[傅里叶变换及其应用学习笔记] 二十八. 高维移位定理

Posted 2020-06-09

 

高维傅里叶变换的移位定理

在一维傅里叶变换的移位定理时，有

$f(t) \\quad \\leftrightarrow \\quad F(s)$

$f(t-b) \\quad \\leftrightarrow \\quad e^{-2\\pi isb}F(s)$

 

在二维傅里叶变换的移位定理时，有两个变量，可分别对它们进行移位，

$f(x_1,x_2) \\quad \\leftrightarrow \\quad F(\\xi_1,\\xi_2)$

$f(x_1-b_1,x_2-b_2) \\quad \\leftrightarrow \\quad ?$

 

二维的移位对应的傅里叶变换是什么呢？下面进行计算

$\\begin{align*}
&\\quad \\int_{-\\infty}^{\\infty}\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi i(x_1\\xi_1+x_2\\xi_2)}f(x_1-b_1,x_2-b_2)dx_1dx_2\\\\
&=\\int_{-\\infty}^{\\infty}\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi i((u_1+b_1)\\xi_1+(u_2+b_2)\\xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2 \\qquad letting\\ u_1=x_1-b_1,u_2=x_2-b_2\\\\
&=\\int_{-\\infty}^{\\infty}\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi i(b_1\\xi_1+b_2\\xi_2)}e^{-2\\pi i(u_1\\xi_1+u_2\\xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2\\\\
&=e^{-2\\pi i(b_1\\xi_1+b_2\\xi_2)}\\int_{-\\infty}^{\\infty}\\int_{-\\infty}^{\\infty}e^{-2\\pi i(u_1\\xi_1+u_2\\xi_2)}f(u_1,u_2)du_1du_2\\\\
&=e^{-2\\pi i(b_1\\xi_1+b_2\\xi_2)}F(\\xi_1,\\xi_2)
\\end{align*}$

 

即二维移位定理可以表示为

$f(x_1-b_1,x_2-b_2) \\quad \\leftrightarrow \\quad e^{-2\\pi i(b_1\\xi_1+b_2\\xi_2)}F(\\xi_1,\\xi_2)$

表示成向量形式

$f(\\underline{x}) \\quad \\leftrightarrow \\quad F(\\underline{\\xi})$

$f(\\underline{x}-\\underline{b}) \\quad \\leftrightarrow \\quad e^{-2\\pi i\\underline{\\xi}\\cdot \\underline{b}}F(\\underline{\\xi})$

这个向量形式也可以推广到n维傅里叶变换的移位定理。

 

 

 

高维傅里叶变换缩放定理

独立变量缩放

在一维傅里叶变换的缩放定理时，有

$f(t) \\quad \\leftrightarrow \\quad F(s)$

$f(at) \\quad \\leftrightarrow \\quad \\frac{1}{|a|}F(\\frac{s}{a})$

通过这个式子，我们知道时域与频域的缩放是互反的，不可能在时域与频域上同时压缩或同时扩展。

 

在二维傅里叶变换的缩放定理时，有

$f(x_1,x_2) \\quad \\leftrightarrow \\quad F(\\xi_1,\\xi_2)$

$f(a_1x_1,a_2x_2) \\quad \\leftrightarrow \\quad \\frac{1}{|a_1||a_2|}F\\left(\\frac{\\xi_1}{a_1},\\frac{\\xi_2}{a_2}\\right)$

在二维傅里叶变换的公式中通过变量替换就能得到上述结果，这里不进行具体的推导。

 

 

混合变量缩放（矩阵乘法）

不过缩放并不限于$x_1\\rightarrow a_1x_1,x_2\\rightarrow a_2x_2$这种各个变量独立缩放的形式，更一般的情况会表示为矩阵的乘法，即

$\\begin{bmatrix}
x_1\\\\
x_2
\\end{bmatrix}
\\rightarrow
\\begin{bmatrix}
a &b \\\\
c &d
\\end{bmatrix}
\\begin{bmatrix}
x_1\\\\
x_2
\\end{bmatrix}
=\\begin{bmatrix}
ax_1+bx_2\\\\
cx_1+dx_2
\\end{bmatrix}$

这种缩放也可以推广到n维傅里叶变换。

用向量形式来表示

$\\underline{x}\\rightarrow A\\underline{x}$

$f(\\underline{x}) \\rightarrow f(A\\underline{x})$

需要注意的是，这里的矩阵$A$是非奇异的，即不能使得$\\underline{x}$降阶（不能消去$\\underline{x}$中的某一项）.

它的傅里叶变换为

$\\begin{align*}
\\mathcal{F}(f(A\\underline{x}))
&=\\int_{\\mathbb{R}^n}e^{-2\\pi i(\\underline{x}\\cdot\\underline{\\xi})}f(A\\underline{x})d\\underline{x}\\\\
&=\\int_{\\mathbb{R}^n}e^{-2\\pi i(A^{-1}\\underline{u}\\cdot\\underline{\\xi})}f(\\underline{u})d(A^{-1}\\underline{u}) \\qquad letting\\ \\underline{u}=A\\underline{x}\\\\
&=\\int_{\\mathbb{R}^n}e^{-2\\pi i(\\underline{u}\\cdot (A^{-1})^T\\underline{\\xi})}f(\\underline{u})\\frac{1}{|detA|}d\\underline{u} \\qquad please\\ review\\ linear\\ algebra\\\\
&=\\int_{\\mathbb{R}^n}e^{-2\\pi i(\\underline{u}\\cdot A^{-T}\\underline{\\xi})}f(\\underline{u})\\frac{1}{|detA|}d\\underline{u} \\qquad letting\\ A^{-T}=(A^{-1})^T\\\\
&=\\frac{1}{|detA|}\\int_{\\mathbb{R}^n}e^{-2\\pi i(\\underline{u}\\cdot A^{-T}\\underline{\\xi})}f(\\underline{u})d\\underline{u}\\\\
&=\\frac{1}{|detA|}\\mathcal{F}f(A^{-T}\\underline{\\xi})
\\end{align*}$

即

$f(\\underline{x}) \\quad \\leftrightarrow \\quad F(\\underline{\\xi})$

$f(A\\underline{x}) \\quad \\leftrightarrow\\quad \\frac{1}{|detA|}F(A^{-T}\\underline{\\xi})$

 

在一维傅里叶变换的缩放定理时，只有一个变量，因此我们用倒数就能表达出时域与频域间的缩放关系，但是在高维傅里叶变换，有多个变量，因此缩放就变得更为自由，我们为了表示高维的缩放引入了矩阵，傅里叶的缩放关系也从倒数变成了矩阵的逆转置$A^{-T}$。

 

 

下面是关于高维傅里叶缩放定理的两个例子

例一

我们前面所说到的独立变量的缩放

$f(a_1x_1,a_2x_2) = f(A\\underline{x})$

其中$A=\\begin{bmatrix}a_1 &0 \\\\ 0 &a_2 \\end{bmatrix}$

$f(A\\underline{x})\\quad \\leftrightarrow\\quad \\frac{1}{|detA|}F(A^{-T}\\underline{\\xi}) = \\frac{1}{|a_1a_2-0|}F\\left(\\begin{bmatrix}\\frac{1}{a_1} &0 \\\\ 0 &\\frac{1}{a_2} \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}\\xi_1 \\\\ \\xi_2 \\end{bmatrix}\\right) = \\frac{1}{|a_1||a_2|}F\\left(\\frac{\\xi_1}{a_1},\\frac{\\xi_2}{a_2}\\right)$

 

 

例二

矩阵为$A=\\begin{bmatrix}
cos\\theta &-sin\\theta \\\\
sin\\theta &cos\\theta
\\end{bmatrix}$，那么$A\\underline{x}=\\begin{bmatrix}x_1cos\\theta-x_2sin\\theta \\\\ x_1sin\\theta+x_2cos\\theta \\end{bmatrix}$

假设原始的变量为$(x_1,x_2)$，用矩阵$A$进行缩放后的变量为$(x_1‘,x_2‘)$，引入极坐标系，他们间有如下关系

$x_1=rcos\\varphi \\qquad x_2=rsin\\varphi$

$\\begin{align*}
x_1‘&=x_1cos\\theta-x_2sin\\theta\\\\
&=rcos\\varphi cos\\theta-rsin\\varphi sin\\theta\\\\
&=rcos(\\varphi+\\theta)
\\end{align*}$
$\\begin{align*}
x_2‘&=x_1sin\\theta+x_2cos\\theta\\\\
&=rcos\\varphi sin\\theta+rsin\\varphi cos\\theta\\\\
&=rsin(\\varphi+\\theta)
\\end{align*}$

那么这个矩阵就代表了$f(x_1,x_2)$在空域的$x_1,x_2$平面上进行了角度为$\\theta$的旋转。

它的傅里叶变换为

$\\begin{align*}
&\\quad \\frac{1}{|detA|}F(A^{-T}\\underline{\\xi})\\\\
&=\\frac{1}{|cos\\theta cos\\theta-(-sin\\theta)sin\\theta|}F((A^{-1})^T\\underline{\\xi})\\\\
&=F((A^T)^T\\underline{\\xi}) \\qquad AA^T=\\begin{bmatrix}cos\\theta &-sin\\theta\\\\ sin\\theta &cos\\theta \\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}cos\\theta &sin\\theta\\\\ -sin\\theta &cos\\theta \\end{bmatrix}=\\begin{bmatrix}1&0\\\\0 &1 \\end{bmatrix}=I \\ \\Rightarrow A^{T}=A^{-1} \\\\
&=F(A\\underline{\\xi})
\\end{align*}$

 

即，当$A=\\begin{bmatrix}
cos\\theta &-sin\\theta \\\\
sin\\theta &cos\\theta
\\end{bmatrix}$，有

$f(A\\underline{x}) \\quad \\leftrightarrow \\quad F(A\\underline{\\xi})$

这表明空间坐标系旋转对应着频率坐标系的相同角度的旋转。

从二维图像上去思考的话，$f(A\\underline{x})$相当于一幅被旋转了的图像，$F(A\\underline{\\xi})$就是该图像的频谱进行了相应的旋转而已，并没有本质上的改变。

 

 

 

高维$\\delta$函数

高维$\\delta$函数与一维的$\\delta$函数有着相同性质

$<\\delta,\\varphi> = \\varphi(\\underline{0}) = \\varphi(\\underbrace{0,0,…,0}_n)$

移位的脉冲函数$\\delta_{\\underline{b}} = \\delta(\\underline{x}-\\underline{b})$

$<\\delta_{\\underline{b}},\\varphi> = \\varphi(\\underline{b}) = \\varphi(b_1,b_2,…,b_n)$

 

傅里叶变换

$\\mathcal{F}\\delta = 1$

$\\mathcal{F}\\delta_{\\underline{b}} = e^{-2\\pi i(\\underline{b}\\cdot \\underline{\\xi})}$

 

$\\delta$的取样特性

$f\\delta = f(\\underline{0})\\delta$

$f\\delta_{\\underline{b}} = f(\\underline{b})\\delta_{\\underline{b}}$

 

$\\delta$的缩放特性

我们以前讲过一维的情况

一维：

$\\delta(ax) = \\frac{1}{|a|}\\delta(x)$

n维：

$\\delta(A\\underline{x}) = \\frac{1}{|detA|}\\delta(\\underline{x})$