[傅里叶变换及其应用学习笔记] 课程概览

Posted 2020-06-14

 

1. 傅里叶级数

    （第1课）

    周期性现象在数学上通过三角函数进行表述

    （第2课）

    现象能通过周期化都变得具有周期性。

    有一种周期函数叫做傅里叶级数，他们由不同频率的三角函数组合而成，并且能进一步推导成复指数的形式，当中的系数被称为傅里叶系数。

    可以推导出傅里叶系数为

$C_m = \\displaystyle{\\int_{0}^{1}}e^{-2\\pi imt}f(t)dt$

    那么是否所有的周期函数都能表示成不同频率的三角函数组合的形式呢？课上教授并没有详细推导，这里有推导过程，结果当然是正确的，条件就是傅里叶系数有无限多个，也就是频率涵盖（$-\\infty<k<\\infty$）。

    （第3课）

    收敛问题，这种由傅里叶系数重新组合的形式是否完全与原函数相同？这里讨论了收敛问题，它们在$L^2$上是收敛的。

    （第4课）

    从另外一个方向去看待傅里叶级数问题，把不同频率的复指数$e^{2\\pi ikt}$当作$L^2$空间上的正交基，傅里叶系数就相当于原函数在这个正交基上的投影

    （第4课、第5课）

    傅里叶级数在热方程上的应用，并引入卷积

 

2.傅里叶变换

    （第6课）

    从傅里叶级数到傅里叶变换，从周期函数推广到非周期函数，其实就是把周期看作无限大了，但是此时的傅里叶系数会变为0，因此需要另寻出路（第5课）。对式子稍作调整后就可以得到傅里叶变换

$\\mathcal{F} f(s) = \\displaystyle{\\int_{-\\infty}^{\\infty} e^{-2\\pi ist}f(t)dt }$

    并且讨论了矩形函数以及三角形函数的傅里叶变换

    （第7课）

    讨论了高斯函数的傅里叶变换，讨论了傅里叶变换的对偶性，对偶性对于后面傅里叶变换的计算将会很有帮助

    （第8课）

    讨论了傅里叶变换的时延性，尺度变换，卷积，有助于理解傅里叶变换的本质（时域，频域变化），而且也有助于后面傅里叶变换的计算

    （第9课）

    时域上的卷积，就是频域上的乘积，因此卷积经常被用于滤波，通过卷积引入傅里叶导数定理

$\\mathcal{F}(f‘)(s) = 2\\pi is(\\mathcal{F} f)(s)$

    然后再次讨论热方程

    （第10课）

    通过傅里叶变换来求解中心极限定理（高斯分布、正态分布）

 

3. 分布的傅里叶变换 （广义傅里叶变换）

    我们把以上所学的傅里叶变换称为传统傅里叶变换，它具有一定的局限性，比如说收敛性的讨论，比如说有些函数计算困难，比如说有些函数无法进行傅里叶变换，因此为了解决这类问题我们引入了新的傅里叶变换：分布傅里叶变换。

    （第11课）

    首先需要知道进行傅里叶变换的最佳函数是什么，通过对傅里叶变换的理解，我们找到了速降函数（Schwartz Function）。

    （第12课）

    我们把速降函数当作分布傅里叶变换中的测试函数$\\varphi$，与之相对应的是分布（广义函数）$T$，有如下关系

$<T,\\varphi>$

    这被称为匹配paring，也就是$T$作用于$\\varphi$。

    分布的傅里叶在这里引入

$<\\mathcal{F}T,\\varphi> = <T,\\mathcal{F}\\varphi>$

    意思是分布$T$的傅里叶变换对测试函数$\\varphi$的作用跟分布$T$对测试函数$\\varphi$的傅里叶变换的作用有相同效果，这意味着我们能通过后面的式子得到分布$T$的傅里叶变换

    脉冲函数$\\delta$就是一个典型的分布

    （第13课）

    分布傅里叶变换的一些例子

    （第14课）

    分布傅里叶变换导数定理，乘积，卷积；引入$\\delta$函数的三大性质：

• 采样特性
• 移位特性
• 缩放特性

    这三个特性会在后面的计算时经常用到

 

4. 傅里叶变换的应用

    （第15课）

    傅里叶变换与衍射成像的关系

    （第16课，第17课）

    由晶体成像引入了Ш函数，Ш函数由$\\delta$函数延伸而来，具有$\\delta$函数的所有特性，计算Ш函数傅里叶变换

    （第17课，第18课，第19课）

    采样定理

 

5. 离散傅里叶变换

    （第19课）

    离散傅里叶变换是通过对连续函数进行离散抽样演变而来

    （第20课）

    离散傅里叶变换的几个重要特性

• 输入输出周期性
• 离散复指数具有正交性
• 索引独立性

    （第21课）

    离散傅里叶变换DFT以及离散傅里叶逆变换IDFT矩阵的推导

    DFT的对偶性会对计算有很大帮助

    （第22课）

    快速傅里叶变换FFT是DFT的快速算法

 

6. 线性系统

    （第23课）

• 对线性系统有个概念性的了解，了解它的叠加性原则以及正比例关系
• 离散有限维线性系统都可以用矩阵的乘法进行表达
• 连续无限维线性系统都可以用核函数的积分进行表达

    （第24课）

    对线性系统输入脉冲函数，线性系统输出的结果就是脉冲响应

    线性时不变系统是用卷积进行表达的

    （第25课）

    线性时不变系统的特征值，特征向量/特征函数

 

7. 高维傅里叶变换

    （第26课）

    二维傅里叶变换就相当于把一维变量$x$，变成了二维变量$\\underline{x}（x_1,x_2）$，我们把这个二维变量看作向量。

    原来的乘法$st$也变成内积$\\underline{x}\\cdot\\underline{\\xi}=x_1\\xi_1+x_2\\xi_2$，为什么这么改变，请参考这节课内的深入理解。

    高维同理。

    （第27课）

    讨论了某些高维傅里叶变换具有简捷的运算方法

    （第28课）

    讨论了高维傅里叶变换的移位，尺度变化，这些操作相比一维都具有更高的自由度。高维$\\delta$函数具有与一维$\\delta$函数相同的特性。

    （第29课）

    高维Ш函数具有更高的自由度，并计算了Ш的傅里叶变换，二维采样定理。

    （第30课）

    拉东变换、医学图像成像，傅里叶变换在其中发挥了充分的作用