向量及向量运算

Posted 柯腾_wjf

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了向量及向量运算相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2) :设P1、P2是直线L上的两点,P是L上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 
  若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式) 
  x=(x1+λx2)/(1+λ), 
  y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式) 
 
  三点共线定理 :若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 。
  三角形重心判断式 :在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 。
向量共线的重要条件 : 若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。 a//b的重要条件是 xy‘-x‘y=0。 
  零向量0平行于任何向量。 
向量垂直的充要条件 
  a⊥b的充要条件是 a?b=0。 
  a⊥b的充要条件是 xx‘+yy‘=0。 
  零向量0垂直于任何向量.
   
1、向量的加法 
  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 
  AB+BC=AC。 
  a+b=(x+x‘,y+y‘)。 
  a+0=0+a=a。 
  向量加法的运算律: 
  交换律:a+b=b+a; 
  结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。 

2、向量的减法 
  如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 
  AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” 
  a=(x,y) b=(x‘,y‘) 则 a-b=(x-x‘,y-y‘). 
   
3、向量的数量积 
  定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 
  定义:两个向量的数量积(内积)是一个数量,记作a?b。若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣。 
  向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x‘+y?y‘。 
  向量的数量积的运算律 
  a?b=b?a(交换律); 
  (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律); 
  (a+b)?c=a?c+b?c(分配律); 
  向量的数量积的性质 
  a?a=|a|的平方。 
  a⊥b 〈=〉a?b=0。 
  |a?b|≤|a|?|b|。 
  向量的数量积与实数运算的主要不同点 
  1、向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2。 
  2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c。 
  3、|a?b|≠|a|?|b| 
  4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
 
4、数乘向量 
  实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 
  当λ>0时,λa与a同方向; 
  当λ<0时,λa与a反方向; 
  当λ=0时,λa=0,方向任意。 
  当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。 
  注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。 
  实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 
  当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 
  当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 
  数与向量的乘法满足下面的运算律 
  结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 
  向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 
  数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 
  数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。 

   5、向量的向量积 、外积
  定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 
如果向量是二维的 :( a =   (ax, by) , b = (bx, by)   ),那么a x b = ax * by - ay * bx = |a| * |b| * sin<a, b>
如果向量是三维的 :a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz); 则 a x b = (ay * bz - by * az, az * bx - ax * bz, ax * by - ay * bx);符合三维矩阵算法
  向量的向量积性质: 
  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 
  a×a=0。 
  a‖b〈=〉a×b=0。 
  向量的向量积运算律 
  a×b=-b×a; 
  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); 
  (a+b)×c=a×c+b×c. 
  注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 
   
向量的三角形不等式 
  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; 
  ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号; 
  ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。 
  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 
  ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号; 
  ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。 

以上是关于向量及向量运算的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

【R】数值型向量及运算

「SymPy」符号运算 矩阵Matrix及基础运算

第四十篇 Numpy.array的基本操作——向量及矩阵的运算

R算数运算符:+-*/%%%/%^

两个向量如何进行运算。

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