「SymPy」符号运算 矩阵Matrix及基础运算

Posted 2023-03-08 行吟客

目录

• 导言
• 创建矩阵
• • 列表初始化
  • • 行向量
    • 列向量
  • 维度和数集
  • 二元函数
  • • `lambda`函数
  • 特殊矩阵
• 基本操作
• • 索引
  • 增删
  • 基础运算
  • 向量运算

导言

在前几篇文章中，我们学习了SymPy基础/高级用法、方程求解、微积分以及向量运算等内容，本节我们学习SymPy核心内容之一Matrix矩阵计算（基础）。

传送链接：
「SymPy」符号运算(1) 简介/符号/变量/函数/表达式/等式/不等式/运算符
「SymPy」符号运算(2) 各种形式输出、表达式的化简合并与展开
「SymPy」符号运算(3) (非)线性方程(组)求解、数列求和、连乘、求极限
「SymPy」符号运算(4) 微积分与有限差分
「SymPy」符号运算(5) Vector向量及运算

sympy.matrices官方文档¹：https://docs.sympy.org/latest/tutorials/intro-tutorial/matrices.html?highlight=matrix

创建矩阵

SymPy的矩阵模块具有丰富的矩阵初始化方法，类比于NumPy中np.ndarray数组等数据结构的创建方式，Matrix的初始化方法大同小异。

列表初始化

创建一个矩阵M，即创建一个Matrxi实例：

import sympy
from sympy.matrices import Matrix
M = Matrix([[1,0,0], [0,0,0]]);
M

输出：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
如果用sympy.pprint()函数输出，则输出为

[1  0  0]
[       ]
[0  0  0]

Matrices模块处理的是二维数据，一维带符号的数据可以用Matrix或上一篇讲过的vector，高维数据可以用tensor中的array，之后会单开一篇讲到。当然三者也是可以相互转换的。

Matrices创建矩阵时，如果是像上述那样利用两层嵌套列表初始化，则里层括号内的数据为一行。

在刚才创建的矩阵M的基础上添加一行：

Matrix([M, (0,0,-1)])
# 或者 Matrix([M, [0,0,-1])

输出：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right]$$

行向量

Matrices也可以创建一维数据集，用两层嵌套列表（两个方括号）创建一行数据得到行向量：

Matrix([[1, 2, 3]])

输出：
$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right]$$

列向量

而如果只用一个方括号（没有嵌套的列表）产生一维Matrices，则得到列向量：

Matrix([1, 2, 3])

输出：
$$\left[\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right]$$

维度和数集

给定矩阵维度为$2\times 3$，元素为$1,2,\dots 6$，则Matrix可以自动按照给定的矩阵大小将给定的数据按行优先填充进去：

Matrix(2, 3, [1, 2, 3, 4, 5, 6])
# Matrix(2, 3, [1, 2, 3, 4, 5])	 # 报错ValueError，给定的数据总数需要与矩阵大小相容

$$\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\end{array}\right]$$

二元函数

假设我们想要创建的矩阵为$M_{a\times b}$，脚标$a$和$b$对应的元素$m_{ab}$满足二元函数$f(a,b)$ ，则可以将函数名传递给Matirx函数自动创建矩阵：

def f(a, b):
    if a == b:
        return 1
    elif a > b:
        return 2 * a
    else:
        return 0

# 创建4x4矩阵，元素满足函数f(a, b)，其中a,b是整数脚标
Matrix(4, 4, f)

输出：
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 2& 1& 0& 0\\ 4& 4& 1& 0\\ 6& 6& 6& 1\end{array}\right]$$

lambda函数

用lambda构造一个二元函数，和前面讲的双变量函数逻辑一样：

# 创建3x4矩阵，元素为 1 - (i+j) % 2，其中i,j是整数脚标
Matrix(3, 4, lambda i,j: 1 - (i+j) % 2)

特殊矩阵

导入：

from sympy.matrices import Matrix, eye, zeros, ones, diag, GramSchmidt

1. 单位矩阵：eye(n)，单位方阵$n\times n$
2. 零矩阵：zeros(n)，零方阵$n\times n$；zeros(n, m)，零矩阵$n\times m$
3. 一矩阵：ones(3)，一方阵$n\times n$；ones(n, m)，一矩阵$n\times m$
4. 对角阵：diag(a, b, c, ...)，对角元素为$a,b,c,\dots$

举例：

from sympy.matrices import Matrix, eye, zeros, ones, diag, GramSchmidt
import sympy
eye(5)

输出：
$$\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\end{array}\right]$$

zeros(3, 4)

$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$

x, y = sympy.symbols('x y', real = True)
diag(10, Matrix([[x, 4], [6, y]]), eye(2))

[ 10 0 0 0 0 0 x 4 0 0 0 6 y 0 0 0 0 0 1 0 0