向量运算

Posted 2020-06-17

1.零向量

加性单位元：满足y+x=y

n维向量集合的加性单位元就是n维零向量

运算法则：例如3d零向量表示为：[0,0,0]

几何解释：没有位移

2.负向量

运算法则：

每个分量都变负

数学表达：

几何解释：

向量变负，将得到一个和原来向量大小相等，方向相反的向量。

3.向量的大小（长度和模）

运算法则：

n维向量大小计算公式为

几何解释：

2d中任意向量v能构造一个以v为斜边的直角三角形如下图所示

4.标量与向量乘法

运算法则：

几何解释：

效果是以因子|k|缩放向量的长度，例如想让向量长度增加倍，应使向量乘以2

标准化向量

运算法则：

向量除以它的大小（模）即可。

几何解释：

向量的加法和减法

运算法则：

加法

减法解释为加负向量

几何解释：

向量a+b解释为：使a的头连接b的尾，接着从a的尾向b的头画一个向量。这就是向量加法的“三角形法则”

三角形法扩展到多个向量

一个点到另一个点的向量

计算一个点到另一个点的位移是一种非常普遍的要示，可以使用三角形法则和向量减法来解释这个问题。

 

距离公式：

说明：等于一个点到另一个点的向量的长度。

运算法则：

先求两点构成的向量d

 

再计算d的模

||d||

向量点乘

运算法则：

几何解释：

点乘结果描述了两个向量的“相似”程序，点乘结果越大，两向量越相近。

 

点乘等于向量大小与向量加角的cos值的积

解得：

如果a,b是单位向量就可能避免上述公式中的余法运算

如果不需要夹角的确切值只需要a和b的夹角类型，可以取用点乘结果的符号，如下图所示

向量投影

我们用点乘计算投影，下图给出和几何解释

 

当然，如果n是单位向量，除法就不必要了

向量叉乘

运算法则：

几何解释：

叉乘得到的向量垂直与原来两个向量

图中，向量a和b在一个平面中。向量a * b 指向该平面的正上方，垂直于a和b