概率论与数理统计笔记 第一章 概率论的基本概念

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概率论与数理统计笔记 第一章 概率论的基本概念

概率论与数理统计笔记(计算机专业) 作者: CATPUB

课程:中国大学MOOC浙江大学概率论与数理统计

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第0讲 绪论

  • 绪论

第1讲 样本空间,随机事件

  • 样本空间
  • 集合 $S$
  • 随机事件
  • 集合 $A\subseteq S$
  • 基本事件
  • 集合 $A$ 只有一个元素
  • 不可能事件
  • 集合 $A=\emptyset$

第2讲 事件的相互关系及运算

  • 事件的关系
    1. 包含 $A\subseteq B$
    2. 相等 $A=B$
    3. 和事件 $A+B$
    4. 积事件 $A\cap B,AB$
    5. 不相容事件,互斥事件 $AB=\emptyset$
    6. 差事件 $A-B$
    7. 逆事件 $\overline A$
  • 事件关系满足交换律,结合律,德摩根率
  • 基本的运算规律
    1. $A+\overline A=1$
    2. $A\overline A=\emptyset$
    3. $A-B=A\cap \overline B=A-AB$

第3讲 频率

  • 频率

第4讲 概率

  • 直观定义:随机事件发生的稳定值,记为 $P(A)=p$
  • 概率的性质(前三条为概率的公理化定义)
    1. 非负性 $P(\emptyset)=0$
    2. 规范性 $P(A)=1-P(\overline A)?$
    3. 可列可加性
      • 若 $A,B$ 两两互斥
      • $$P(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i)$$
    4. $$P(B-A)=P(B)-P(AB)$$
    5. 概率的加法公式
      • $$\begin{split} P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)=&\sum_{i=1}^{n}P(A_i)- \sum_{1\leq i<j\leq n}P(A_iA_j)+\&\sum_{1\leq i<j<k\leq n}P(A_i A_j A_k)+...+(-1)^{n-1}P(A_1 A_2 ... A_n) \end{split}$$

第5讲 等可能概型(古典概型)

  • 特点
    1. 有限性
    2. 等可能性
  • 组合数
  • $$C_N^n={N\choose n}=\frac{N!}{n!(N-n)!}$$
  • 例题5-1
  • 抽签问题
    • 先抽后抽概率相等

第6讲 条件概率

  • 定义
  • $$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)},P(A)>0$$
  • 乘法公式
  • $$P(AB)=P(A)P(B|A)$$

第7讲 全概率公式与贝叶斯公式

  • 全概率公式
  • 若$B_1, B_2, B_3,...,B_n$是$S$的划分(离散数学中的概念),则
    • $$P(A)=\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)$$
    • 关键在于能否构造一个合适的划分
    • 原理是分情况讨论
  • 贝叶斯公式
  • $$P(B_i|A)=\frac{P(AB_i)}{P(A)}=\frac{P(B_i)P(A|B_i)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}$$
  • A是后验概率,B是先验概率。贝叶斯公式描述了先验概率已知的情况下,后验概率对先验概率的修正。
  • 直观理解:癌症检查中,已知一个人有患癌症的可能,那么后验概率(检查结果)对先验概率(检查前患癌症的可能)的修正,可以增加或减少这个人患癌症的概率。也即医院检查可以(一定概率上)确诊。
  • 作者拓展:贝叶斯公式在推荐算法上(如搜索引擎排序)具有重要应用,它可以通过用户的点击修正推荐排序结果

第8讲 事件的独立性

  • 事件的独立性常常通过实际情况来判断
  • 公理化定义
  • 对事件组 $A_1,A_2,...,A_n$,若他们相互独立,则必有
  • $$\begin{split}&P(A_i A_j)=P(A_i)P(A_j)\&P(A_i A_j A_k)=P(A_i)P(A_j)P(A_k)\&...\&P(A_1 A_2...A_n)=P(A_1)P(A_2)...P(A_n)\end{split}$$
  • 注意,若三个事件两两独立,不能推出三个事件相互独立
  • 性质
  • 若 $A,B$ 相互独立,则 $\overline A,B$,$A,\overline B$,$\overline A,\overline B$ 也相互独立
  • 小概率事件
  • 小概率事件在一次实验中几乎不发生
  • 但在大规模重复实验中,至少有一次发生的概率非常高

作者拓展:三门问题

三门问题(Monty Hall problem)亦称为蒙提霍尔问题、蒙特霍问题或蒙提霍尔悖论,大致出自美国的电视游戏节目Let‘s Make a Deal。问题名字来自该节目的主持人蒙提·霍尔(Monty Hall)。参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门可赢得该汽车,另外两扇门后面则各藏有一只山羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只山羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机率?如果严格按照上述的条件,即主持人清楚地知道,哪扇门后是羊,那么答案是会。不换门的话,赢得汽车的几率是1/3。换门的话,赢得汽车的几率是2/3。

这个问题亦被叫做蒙提霍尔悖论:虽然该问题的答案在逻辑上并不自相矛盾,但十分违反直觉。这问题曾引起一阵热烈的讨论。

  • 问题的关键在于主持人已知哪个门后有羊,他的行为(排除一个错误答案)改变了赢得汽车的概率。

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