[概率论与数理统计]笔记：4.1 总体与样本

Posted 2023-01-24 feixianxing

关于总体与样本的基本概念

第四章 数理统计的基础知识

4.1 总体与样本

总体与总体分布

概念

• 总体：在某种共性基础上由许多个别事物结合起来的整体。
• 个体：指构成统计总体的个别事物的总称。
• 总体的容量：总体中个体的个数。
• 有限总体：容量有限的总体。
• 无限总体：容量无限的总体。

每一个个体代表一次试验的观察值，不同个体可以有相同的观察值。

在统计学中，称\\(X\\)为总体，把\\(X\\)的分布称为总体的分布。

• 表示总体的\\(X\\)可以是随机变量或随机向量。
• 个体的定性指标可以转化为数量指标，从而设定一个随机变量来表示研究的总体。
• 总体分布就是设定的\\(X\\)的分布，一般是未知的。统计学的主要任务就是对总体的未知分布进行推断。

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样本与样本分布

概念

• 样本：通过一定方法从总体中取出若干个体组成的子集。

• 简单随机样本：\\((X_1,X_2,\\cdots,X_n)\\)，其中\\(X_1,X_2,\\cdots,X_n\\)独立同分布，且与总体\\(X\\)同分布。

• 简单随机抽样：使每个可能的样本被抽中的概率相等的一种抽样方式。

• 样本值：样本的一组具体的观察值。

• 样本空间：全体样本值组成的集合。

• 样本分布：

  设总体\\(X\\)的分布函数为\\(F(x)\\)，则样本\\((X_1,X_2,\\cdots,X_n)\\)的分布函数为

  \\[F_n(x_1,x_2,\\cdots,x_n)=\\prod\\limits_i=1^nF(x_i), \\]

  称之为样本分布。

  • 若\\(X\\)为连续型随机变量，密度函数为\\(f(x)\\)，则样本的密度函数为：
  \\[f_n(x_1,x_2,\\cdots,x_n)=\\prod\\limits_i=1^nf(x_i). \\]
  • 若\\(X\\)为离散型随机变量，概率分布为\\(p(x)=P\\X=x\\\\)，\\(x\\)取遍\\(X\\)所有可能取值，则样本的概率分布为：
    \\[p_n(x_1,x_2,\\cdots,x_n)=P\\X_1=x_1,X_2=x_2,\\cdots,X_n=x_n\\=\\prod\\limits_i=1^np(x_i). \\]

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统计推断问题简述

通过样本的特征选择适合的分布（模型），并由此对总体分布中所含的未知参数作出统计推断。

使用教材：
《概率论与数理统计》第四版 中国人民大学 龙永红 主编 高等教育出版社