cdq分治入门--BZOJ1492: [NOI2007]货币兑换Cash

Posted 2020-10-15 Blue233333

n<=100000天，一开始有s块钱，每天股票A价格ai，B价格bi，每天可以做的事情：卖出股票；按A:B=RTi的比例买入股票。问最后的最大收益。股票可以为浮点数，答案保留三位。

用脚指头想想就知道是：某一天全部买进来，某一天全部卖出去，没有说买一半卖一半的。

那就可以dp了，f(i)表示前i天最大收益，，其中Xi表示用f(i)块钱在第i天能买多少A券，Yi表示f(i)块前第i天买多少B券，可以自己算，n方过不了。

现要找max(Ai*Xj+Bi*Yj)，考虑两个状态j,k,j比k优时

整理得，前提是Xj>Xk

那就平衡树维护一下一个递增的(Yj-Yk)/(Xj-Xk)，即维护一个凸包即可，难写，略。

cdq就是这样把一个在线的东西强行转化成离线。

solve(l,r)表示把这个区间里的f算完，solve(l,mid)之后，用(l,mid)的状态更新(mid+1,r)的状态，然后solve(mid+1,r)，这就是一个分治。

为了使这个更新过程顺利完成，在solve(l,mid)时需要找到这个凸包，可以通过维护Xi的单调，然后直接一个栈保存单调的斜率即可；mid+1到r这一段，也需要保证-Ai/Bi的单调，这个可以预处理出来。现在就是一个离线问题，一边凸包单增被离线实现了，一边-Ai/Bi预处理排序好了，那就可以两个指针直接扫一遍更新了。

trick！！(Xj-Xk)可能等于0。。。。。。

 1 #include<stdio.h>
 2 #include<string.h>
 3 #include<stdlib.h>
 4 #include<algorithm>
 5 #include<math.h>
 6 //#include<iostream>
 7 using namespace std;
 8 
 9 int n,s;
10 #define maxn 200011
11 double a[maxn],b[maxn],rt[maxn];
12 
13 int num[20][maxn];
14 void mergesort(int L,int R,int cur)
15 {
16     if (L==R)
17     {
18         num[cur][L]=L;
19         return;
20     }
21     const int mid=(L+R)>>1;
22     mergesort(L,mid,cur+1),mergesort(mid+1,R,cur+1);
23     int i=L,j=mid+1,k=i;
24     while (i<=mid && j<=R)
25     {
26         if (-a[num[cur+1][i]]/b[num[cur+1][i]]>-a[num[cur+1][j]]/b[num[cur+1][j]])
27             num[cur][k++]=num[cur+1][i++];
28         else num[cur][k++]=num[cur+1][j++];
29     }
30     while (i<=mid) num[cur][k++]=num[cur+1][i++];
31     while (j<=R) num[cur][k++]=num[cur+1][j++];
32 }
33 
34 double f[maxn],xx[maxn],yy[maxn];int sta[maxn],top,numf[20][maxn];
35 double calc(int i,int j) {return fabs(xx[i]-xx[j])>1e-9?(yy[i]-yy[j])/(xx[i]-xx[j]):1e300;}
36 //i>j
37 void solve(int L,int R,int cur)
38 {
39     if (L==R)
40     {
41         numf[cur][L]=L;
42         f[L]=max(f[L],f[L-1]);
43         yy[L]=f[L]/(rt[L]*a[L]+b[L]);
44         xx[L]=f[L]*rt[L]/(rt[L]*a[L]+b[L]);
45         return;
46     }
47     const int mid=(L+R)>>1;
48     solve(L,mid,cur+1);
49     top=0;
50     for (int i=L;i<=mid;i++)
51     {
52         const int id=numf[cur+1][i];
53         while (top>1 && calc(id,sta[top])-calc(sta[top],sta[top-1])>-1e-9) top--;
54         sta[++top]=id;
55     }
56     for (int i=mid+1,j=1;i<=R;i++)
57     {
58         const int &id=num[cur+1][i];
59         while (j<top && -a[id]/b[id]-calc(sta[j+1],sta[j])<1e-9) j++;
60         f[id]=max(f[id],a[id]*xx[sta[j]]+b[id]*yy[sta[j]]);
61     }
62     solve(mid+1,R,cur+1);
63     int i=L,j=mid+1,k=i;
64     while (i<=mid && j<=R)
65     {
66         if (xx[numf[cur+1][i]]<xx[numf[cur+1][j]]) numf[cur][k++]=numf[cur+1][i++];
67         else numf[cur][k++]=numf[cur+1][j++];
68     }
69     while (i<=mid) numf[cur][k++]=numf[cur+1][i++];
70     while (j<=R) numf[cur][k++]=numf[cur+1][j++];
71 }
72 
73 int main()
74 {
75     scanf("%d%d",&n,&s);
76     for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&rt[i]);
77     mergesort(1,n,0);
78 //    for (int i=0;i<=2;i++){
79 //        for (int j=1;j<=n;j++)
80 //            cout<<(-a[num[i][j]]/b[num[i][j]])<<\' \';cout<<endl;}
81     f[0]=s;for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=0;
82     solve(1,n,0);
83 //    for (int i=1;i<=n;i++) cout<<f[i]<<\' \';cout<<endl;
84     printf("%.3f\\n",f[n]);
85     return 0;
86 }

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