BZOJ-1492货币兑换Cash DP + 斜率优化 + CDQ分治
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了BZOJ-1492货币兑换Cash DP + 斜率优化 + CDQ分治相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
1492: [NOI2007]货币兑换Cash
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Description
小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券:A纪念券(以下简称A券)和 B纪念券(以下
简称B券)。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动,
两种金券都有自己当时的价值,即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
价值分别为 AK 和 BK(元/单位金券)。为了方便顾客,金券交易所提供了一种非常方便的交易方式:比例交易法
。比例交易法分为两个方面:(a)卖出金券:顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例,其意义为:将
OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币;(b)买入金券:顾客支付 IP 元人民币,交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券,并且,满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK;例如,假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为:
假定在第一天时,用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作:
注意到,同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工,通过较长时间的运作和行情测算,他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来,如果开始时拥有S元钱,那么N天后最多能
够获得多少元钱。
Input
输入第一行两个正整数N、S,分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行,第K行三个实数AK、B
K、RateK,意义如题目中所述。对于100%的测试数据,满足:0<AK≤10;0<BK≤10;0<RateK≤100;MaxProfit≤1
0^9。
【提示】
1.输入文件可能很大,请采用快速的读入方式。
2.必然存在一种最优的买卖方案满足:
每次买进操作使用完所有的人民币;
每次卖出操作卖出所有的金券。
Output
只有一个实数MaxProfit,表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。
Sample Input
3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3
1 1 1
1 2 2
2 2 3
Sample Output
225.000
HINT
Source
Solution
斜率优化DP,典型的不单调
$f[i]=max(f[i],f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*rate[j]*a[i]+f[j]/(a[j]*rate[j]+b[j])*b[i])$
至于CDQ分治的理论:移步 折越
启发:
1.斜率优化DP变化万千..
2.熟练掌握分治算法能够产生很多神奇的功效(xyx好像很喜欢分治)
Code
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> using namespace std; #define maxn 200010 struct DayNode { double A,B,Ra,k; int id; bool operator < (const DayNode & T) const {return k<T.k;} }a[maxn],tmpa[maxn]; struct PointNode{double x,y;}p[maxn],tmpp[maxn]; int N; double dp[maxn]; int tmp1[maxn],tmp2[maxn],stack[maxn]; #define inf 1e9 #define eps 1e-9 double slope(int l1,int l2) { if (!l1) return -inf; if (!l2) return inf; if (fabs(p[l1].x-p[l2].x)<=eps) return -inf; return (p[l1].y-p[l2].y)/(p[l1].x-p[l2].x); } void CDQ(int l,int r) { if (l==r) { dp[l]=max(dp[l],dp[l-1]); p[l].y=dp[l]/(a[l].Ra*a[l].A+a[l].B); p[l].x=a[l].Ra*p[l].y; return; } int mid=(l+r)>>1,L,R; L=l; R=mid+1; for (int i=l; i<=r; i++) if (a[i].id<=mid) tmpa[L++]=a[i]; else tmpa[R++]=a[i]; for (int i=l; i<=r; i++) a[i]=tmpa[i]; CDQ(l,mid); int top=0; for (int i=l; i<=mid; i++) { while (top>1 && slope(stack[top],stack[top-1])<slope(i,stack[top-1])+eps) top--; stack[++top]=i; } int Top=1; for (int i=r; i>=mid+1; i--) { while (Top<top && slope(stack[Top],stack[Top+1])+eps>a[i].k) Top++; dp[a[i].id]=max(dp[a[i].id],p[stack[Top]].x*a[i].A+p[stack[Top]].y*a[i].B); } CDQ(mid+1,r); L=l; R=mid+1; for (int i=l; i<=r; i++) if (((p[L].x<p[R].x+eps || (fabs(p[L].x-p[R].x)<=eps && p[L].y<p[R].y+eps)) || R>r) && L<=mid) tmpp[i]=p[L++]; else tmpp[i]=p[R++]; for (int i=l; i<=r; i++) p[i]=tmpp[i]; } int main() { scanf("%d%lf",&N,&dp[0]); for (int i=1; i<=N; i++) scanf("%lf%lf%lf",&a[i].A,&a[i].B,&a[i].Ra),a[i].k=-a[i].A/a[i].B,a[i].id=i; sort(a+1,a+N+1); CDQ(1,N); //for (int i=1; i<=N; i++) printf("%d %d %.3lf %.3lf %.3lf %.3lf \\n",i,a[i].id,a[i].A,a[i].B,a[i].Ra,a[i].k); printf("%.3lf\\n",dp[N]); return 0; }
以上是关于BZOJ-1492货币兑换Cash DP + 斜率优化 + CDQ分治的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
BZOJ-1492货币兑换Cash DP + 斜率优化 + CDQ分治
[BZOJ1492][NOI2007]货币兑换Cash(斜率优化+CDQ分治)
BZOJ 1492: [NOI2007]货币兑换Cash( dp + 平衡树 )