bzoj1492[NOI2007]货币兑换Cash cdq分治+斜率优化dp

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了bzoj1492[NOI2007]货币兑换Cash cdq分治+斜率优化dp相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1492: [NOI2007]货币兑换Cash

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Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券:A纪念券(以下简称A券)和 B纪念券(以下
简称B券)。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动,
两种金券都有自己当时的价值,即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的
价值分别为 AK 和 BK(元/单位金券)。为了方便顾客,金券交易所提供了一种非常方便的交易方式:比例交易法
。比例交易法分为两个方面:(a)卖出金券:顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例,其意义为:将
 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币;(b)买入金券:顾客支付 IP 元人民币,交易所将会兑
换给用户总价值为 IP 的金券,并且,满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK;例如,假定接
下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为:
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假定在第一天时,用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作:
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注意到,同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工,通过较长时间的运作和行情测算,他已经
知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来,如果开始时拥有S元钱,那么N天后最多能
够获得多少元钱。

 

Input

输入第一行两个正整数N、S,分别表示小Y能预知的天数以及初始时拥有的钱数。接下来N行,第K行三个实数AK、B
K、RateK,意义如题目中所述。对于100%的测试数据,满足:0<AK≤10;0<BK≤10;0<RateK≤100;MaxProfit≤1
0^9。
【提示】
1.输入文件可能很大,请采用快速的读入方式。
2.必然存在一种最优的买卖方案满足:
每次买进操作使用完所有的人民币;
每次卖出操作卖出所有的金券。
 

Output

只有一个实数MaxProfit,表示第N天的操作结束时能够获得的最大的金钱数目。答案保留3位小数。

Sample Input

3 100
1 1 1
1 2 2
2 2 3

Sample Output

225.000

HINT

 

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Source

解题的第一个关键是知道每次操作都要完全,即买入就花光所有钱,卖出就卖出所有金券

容易列出暴力方程
f[i]=f[j]/(a[j]*r[j]+b[j])*r[j]*a[i]+f[j]/(a[j]*r[j]+b[j])*b[i]
设x[i]=f[j]/(a[j]*r[j]+b[j])*r[j]
y[i]=f[j]/(a[j]*r[j]+b[j])
f[i]=x[j]*a[i]+y[j]*b[i] 很明显可以斜率优化的式子
假设j比k优 且假设(x[k]<x[j])
那么x[j]*a[i]+y[j]*b[i]>x[k]*a[i]+y[k]*b[i]
=> -a[i]/b[i]<(y[k]-y[j])/(x[k]-x[j]) 维护上凸包

但是

由于-a[i]/b[i]不具有单调性 所以不能够用单调队列维护
由于x[i]不具有单调性 不能用单调队列维护

那么现在只要我们保证了x[i] 和-a[i]/b[i]的单调性,不就可以单调队列维护了?

可以用排序来保证-a[i]/b[i]单调 cdq分治保证x[i]单调且保证在i之前的j都已经转移完毕

 

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 #define N 100005
 3 using namespace std;
 4 int n,s[N];double f[N];
 5 const double eps=1e-9;
 6 const double inf=1e9;
 7 struct query{double a,b,r,k;int id;}q[N],a[N];
 8 struct point{
 9     double x,y;
10     bool operator < (const point &b)const{
11         return fabs(x-b.x)<=eps?y<b.y:x<b.x;
12     }
13 }p[N],b[N];
14 double get(int i,int j){
15     if(fabs(p[i].x-p[j].x)<=eps)return -inf;
16     return (p[i].y-p[j].y)/(p[i].x-p[j].x);
17 }
18 void cdq(int l,int r){
19     if(l==r){
20         f[l]=max(f[l],f[l-1]);
21         p[l].y=f[l]/(q[l].a*q[l].r+q[l].b);
22         p[l].x=p[l].y*q[l].r;return;
23     }
24     int mid=l+r>>1;
25     int p1=l,p2=mid+1;
26     for(int i=l;i<=r;i++){
27         if(q[i].id<=mid)a[p1++]=q[i];
28         else a[p2++]=q[i];
29     }
30     for(int i=l;i<=r;i++)q[i]=a[i];
31     cdq(l,mid);int tp=0;
32     for(int i=l;i<=mid;i++){
33         while(tp>1&&get(s[tp-1],s[tp])<get(s[tp],i))tp--;
34         s[++tp]=i;
35     }
36     int j=1;
37     for(int i=r;i>=mid+1;i--){
38         while(j<tp&&q[i].k<get(s[j],s[j+1])+eps)j++;
39         f[q[i].id]=max(f[q[i].id],p[s[j]].x*q[i].a+p[s[j]].y*q[i].b);
40     }
41     cdq(mid+1,r);
42     p1=l,p2=mid+1;
43     for(int i=l;i<=r;i++){
44         if((p[p1]<p[p2]||p2>r)&&p1<=mid)b[i]=p[p1++];
45         else b[i]=p[p2++];
46     }
47     for(int i=l;i<=r;i++)p[i]=b[i];
48 }
49 
50 bool cmp(query a,query b){return a.k<b.k;}
51 int main(){
52     scanf("%d%lf",&n,&f[1]);
53     for(int i=1;i<=n;i++){
54         scanf("%lf%lf%lf",&q[i].a,&q[i].b,&q[i].r);
55         q[i].k=-q[i].a/q[i].b;
56         q[i].id=i;
57     }
58     sort(q+1,q+1+n,cmp);
59     cdq(1,n);
60     printf("%.3lf\n",f[n]);
61     return 0;
62 }

 

以上是关于bzoj1492[NOI2007]货币兑换Cash cdq分治+斜率优化dp的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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