[BZOJ 1492][NOI2007]货币兑换Cash（CDQ分治+斜率优化Dp）

Posted 2020-09-19 Zars19

Description

小Y最近在一家金券交易所工作。该金券交易所只发行交易两种金券：A纪念券（以下简称A券）和 B纪念券（以下

简称B券）。每个持有金券的顾客都有一个自己的帐户。金券的数目可以是一个实数。每天随着市场的起伏波动，

两种金券都有自己当时的价值，即每一单位金券当天可以兑换的人民币数目。我们记录第 K 天中 A券 和 B券 的

价值分别为 AK 和 BK（元/单位金券）。为了方便顾客，金券交易所提供了一种非常方便的交易方式：比例交易法

。比例交易法分为两个方面：（a）卖出金券：顾客提供一个 [0,100] 内的实数 OP 作为卖出比例，其意义为：将

 OP% 的 A券和 OP% 的 B券 以当时的价值兑换为人民币；（b）买入金券：顾客支付 IP 元人民币，交易所将会兑

换给用户总价值为 IP 的金券，并且，满足提供给顾客的A券和B券的比例在第 K 天恰好为 RateK；例如，假定接

下来 3 天内的 Ak、Bk、RateK 的变化分别为：

假定在第一天时，用户手中有 100元 人民币但是没有任何金券。用户可以执行以下的操作：

注意到，同一天内可以进行多次操作。小Y是一个很有经济头脑的员工，通过较长时间的运作和行情测算，他已经

知道了未来N天内的A券和B券的价值以及Rate。他还希望能够计算出来，如果开始时拥有S元钱，那么N天后最多能

够获得多少元钱。

Solution

论文题啦…从《Cash》谈一类分治算法的应用

CDQ分治看起来比平衡树维护凸包要友好的多…

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define MAXN 100005
#define eps 1e-9
const double INF=1e100;
using namespace std;
int n,s,stack[MAXN],top;
double a[MAXN],b[MAXN],R[MAXN],f[MAXN];
struct Node
{
    double s,x,y;
    int id;
    bool operator < (const Node& x) const
    {return s<x.s;}
}data[MAXN],t[MAXN];
double slope(int i,int j)
{
    if(fabs(data[j].x-data[i].x)<eps)return data[j].y>data[i].y?INF:-INF;
    return (data[j].y-data[i].y)/(data[j].x-data[i].x);
}
void merge(int l,int r)
{
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)>>1;
    int i=l,j=mid+1,k=l;
    while(i<=mid&&j<=r)
    {
        if(data[i].x<data[j].x)t[k++]=data[i++];
        else t[k++]=data[j++];
    }
    while(i<=mid)t[k++]=data[i++];
    while(j<=r)t[k++]=data[j++];
    for(int i=l;i<=r;i++)data[i]=t[i];
}
void solve(int l,int r)
{
    if(l==r)
    {
        f[l]=max(f[l],f[l-1]);
        data[l].y=f[l]/(R[l]*a[l]+b[l]);
        data[l].x=data[l].y*R[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;for(int i=l,j=mid+1,k=l;k<=r;k++)
    if(data[k].id<=mid)t[i++]=data[k];
    else t[j++]=data[k];
    for(int i=l;i<=r;i++)data[i]=t[i];
    solve(l,mid);
    top=0;
    for(int i=l;i<=mid;i++)
    {
        while(top>1&&slope(stack[top-1],stack[top])<eps+slope(stack[top],i))
        top--;
        stack[++top]=i;
    }
    for(int i=mid+1;i<=r;i++)
    {
        while(top>1&&data[i].s+eps>slope(stack[top-1],stack[top]))
        top--;
        f[data[i].id]=max(f[data[i].id],data[stack[top]].x*a[data[i].id]+data[stack[top]].y*b[data[i].id]);
    }
    solve(mid+1,r);
    merge(l,r);
}
int main()
{
    scanf("%d%lf",&n,&f[0]);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lf%lf%lf",&a[i],&b[i],&R[i]);
        data[i].id=i,data[i].s=-a[i]/b[i];
    }
    sort(data+1,data+1+n);
    solve(1,n);
    printf("%.3lf\n",f[n]);
    return 0;
}