线性代数的本质与几何意义 01. 向量是什么？(3blue1brown 咪博士 图文注解版)

Posted 2020-10-15 【爱跑咪】【http://www.iPaoMi.com】

向量是线性代数最基础、最基本的概念之一，要深入理解线性代数的本质，首先就要搞清楚向量到底是什么？

向量之所以让人迷糊，是因为我们在物理、数学，以及计算机等许多地方都见过它，但又没有彻底弄懂，以至于似是而非。

1. 物理学中的向量

物理学中的向量：空间中的箭头，由长度和它所指的方向决定

而且，在物理学中，你可以在空间中自由地移动向量，只要保持向量的长度和所指的方向不变，向量便保持不变，即移动前后的向量是同一个向量！

2. 计算机专业中的向量

计算机中向量是有序的列表

例如我们要对房价建模，

我们可以将房屋面积和房价排在一起形成向量，假定向量中的第 1 个元素用来表示房屋面积，第 2 个元素用来表示价格。显然，这是一个有序的列表，不能随意交换向量中元素的位置。

因此，站在计算机专业的角度来看，向量不过是列表或数组的别称罢了。

3. 数学中的向量

数学中的向量综合了不同专业对向量的理解。抽象意义上，数学中的向量可以是任意的东西，只要可以对它们进行加法和数乘运算即可。这也意味着，加法和数乘是向量最底层的运算。一切复杂和抽象的东西归根结底都源自于这 2 种运算。

和物理学中的向量一样，线性代数中的向量也是有大小和方向的（物理学观点），但必须特别注意的是：线性代数中的向量不能像物理学中的向量那样随意挪动。线性代数中的向量全部都是起点固定在原点的向量!

3.1 坐标

以大家最熟悉的二维平面直角坐标系为例，线性代数中，向量的坐标由一对数字构成。这一对数字指示了如何从向量的起点（即坐标原点）出发到达向量的终点。第 1 个数字 -2 告诉我们从原点出发沿 x 轴负方向移动 2 个单位的距离，第 2 个数字 3 告诉我们从原点出发沿 y 轴正方向移动 3 个单位的距离，然后我们就能到达向量的终点了。

显然，线性代数中的向量也是一个有序的列表（计算机观点）。例如，在上面的例子中，第 1 个数字表示从向量起点（原点）沿 x 轴移动的距离，第 2 个数字表示从向量起点（原点）沿 y 轴移动的距离，这 2 个数字当然是不能随意交换位置的。

为了将向量与坐标区分开来，我们通常将向量竖着写，而将坐标横着写。但无论如何，向量和坐标是有着一一对应的关系的。

3.2 向量加法

线性代数中向量的加法运算和物理学中向量的加法运算是一样的。

例如，要计算 v + w，

我们平移其中的任意一个向量（例如 w），将 w 的起点与 v 的终点重合，则平移后 w 的终点便是 v + w 的终点，而 v+ w 的起点也是 v 的起点（即原点）。前面，咪博士提到线性代数中的向量，都是起点固定在原点，不能随意挪动的。但是，在这里，我们却将向量 w 平移了。这确实是一个例外，而且可能也是线性代数中唯一允许向量离开原点的情形了。

但是，咪博士这里要讲的重点不是向量如何做加法运算，而是为什么向量的加法运算要定义成这样？

从刚才对坐标的解释，我们可以很自然地将向量看成是对某种运动的描述（从原点出发）。向量 v 和 w 分别描述了不同的运动， 向量加法想表达的意思是：v + w 描述的运动等价于 v 和 w 这 2 种运动综合的结果。即，v + w 描述的运动相当于先执行 v 描述的运动，再执行 w 描述的运动的结果。当然，你也可以先执行 w 的运动，再执行 v 的运动。最终结果都是一样的，无论向执行 v，还是先执行 w，最终都等于 v+ w 的运动。

这样理解起来比较抽象，咪博士还是为大家举一个具体的例子吧。

2]

假定我们有 2 个向量 [1 2 ]2]和 [ 3 -1 ] [3?1]。现在我们要对它们进行加法运算。

按照向量加法运算的计算方法，我们平移向量 [3 -1 ] [3?1] ，让它的起点与向量 [1 2 ] [12] 的终点重合。

如果将向量看看成是某种形式的运动，那么 2 个向量相加就是相继执行向量对应的运动。最终向量相加的结果所表示的运动，就相当于，先沿 x 轴正方向移动 1 + 3 个单位，再沿 y 轴正方向移动 2 + (-1) 个单位。仔细想想，相加后的向量是不是恰好就是从原点出发，终点落在移动后的那个向量的终点上？

3.3 向量数乘

向量的数乘运算比加法运算要容易得多。向量的数乘运算就是对向量进行缩放，等于将向量中的各个元素（分量）分别进行缩放。现在，如果从向量坐标和运动的观点出发，是不是很容易理解了呢？

总之，要深入理解线性代数的本质，我们就需要学会灵活地在向量的不同解释之间相互转换。

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